рема, (АСВ)=(АМК). Але за принципом Ферма з точністю до нескінченно малих вищого порядку (АМК)=(AHK). Далі, оскільки поверхні BDE і BKF торкаються один одного в точці В, довжина променя KD буде нескінченно малою вищого порядку в порівнянні з BD. Тому оптична довжина AHD відрізнятиметься від оптичної довжини АСВ також на величину вищого порядку малості в порівнянні з боковим зміщенням BD. Це і було потрібно довести.
. Якщо між собою, то в кожному середовищі шлях світла буде прямолінійний. У цьому випадку завдання зводиться тільки до знаходження точок на поверхнях розділу середовищ, в яких відбувається відбиток і переломлення світлового променя. Тому немає необхідності вводити криволінійні віртуальні шляху світла. Досить обмежитися ламаними віртуальними шляхами, що складаються з відрізків прямих ліній, причому злами таких шляхів повинні відбуватися на межах розділу розглянутих середовищ. Навіть при таких обмеженнях оптична довжина дійсного світлового шляху може бути не тільки мінімальної, а й максимальної або стаціонарною.
Щоб показати це у випадку відбиття світла, візьмемо еліпсоїдальність дзеркало, получающееся від обертання еліпса навколо його великої осі (рис. 7). Нехай і - фокуси еліпсоїда Якщо А -точка на його поверхні, то
A + A=2а,
де 2а - довжина великої осі еліпсоїда. Поверхня дзеркала ділить весь простір на дві частини: внутрішню, сума відстаней кожної точки якої від фокусів і менше 2а, і зовнішню, для якої ця сума більше 2а, Нехай світловий промінь виходить з фокусу Тоді після відбиття від еліпсоїдального дзеркала в точці А він пройде через другий фокус F2, оскільки за відомим властивості еліпса прямі A і F2A утворюють однакові кути з нормаллю до поверхні дзеркала. При зсуві вздовж поверхні дзеркала сума А + F2A, а з нею і час поширення світла з в F2 не змінюються. Варіація часу поширення при такому зміщенийії дорівнює нулю. Однак цей час ні мінімально, ні максимально - воно постійно. Саме з цієї причини будь-який промінь, що вийшов з Fl, обов'язково пройде через F2, в якій би точці дзеркала він ні позначився. Переконатися в цьому можна за допомогою таких самих міркувань, які були приведені в пункті 3 [2].
Уявімо тепер дзеркало S, що стосується еліпсоїда в точці А, звернене увігнутістю в ту ж сторону, що і еліпсоїд, але має велику кривизну. Світловий промінь A після відображення від цього дзеркала знову потрапляє в точку F2. Однак при зміщенні точки А по поверхні дзеркала S довжина ламаної AF2 зменшується. Отже, час поширення світла з в F2 уздовж дійсного шляху максимально.
Навпаки, якщо взяти дзеркало S має в точці дотику меншу кривизну, ніж еліпсоїд, або звернене увігнутістю в протилежну сторону, то час поширення світла вздовж дійсного шляху буде мінімально. Зокрема, воно мінімально при відбитті від плоского дзеркала. Припустимо, нарешті, що дзеркало SAS 'має в А крапку перегину. Тоді при зміщенні точки падіння променя по поверхні цього дзеркала час поширення чи збільшиться, або зменшиться, або залишиться незмінним, в залежності від напрямку зсуву.
. Щоб розібрати випадок заломлення, введемо поняття анаберраціонной поверхні [2]. Нехай точка Р знаходиться в однорідному середовищі з показником заломлення n, а точка Р - В однорідному середовищі з показником заломлення n (рис. 8). Поверхня АА ', уздовж якої середовища межують одна з одною, називається анаберраціонной, якщо будь-яка точка А цієї поверхні задовольняє умові
n * РА + n * АР =С=const. (9)
Для випадку заломлення анаберраціонная поверхня має форму так званого картезіанського овалу. Він звернений увігнутістю в бік більш заломлюючої середовища (n gt; n). Анаберраціонная поверхню ділить простір на дві частини, що володіють наступною властивістю. Якщо точка М розташована в менш заломлюючої середовищі, то сума n * РМ + n * MP 'більше С; якщо ж вона лежить в більш заломлюючої середовищі, то ця сума менше С.
Доведемо наступну теорему. Промінь світла, що вийшов з точки Р, після заломлення на анаберраціонной поверхні обов'язково пройде через точку Р laquo ;. Дійсно, нехай РА - падаючий промінь, as - одиничний вектор, спрямований вздовж нього. З'єднаємо точку А з точкою Р і позначимо через s одиничний вектор, спрямований вздовж прямої АР raquo ;. За визначенням анаберраціонной поверхні варіація оптичної довжини ламаної РAР при зміщенні точки А по анаберраціонной поверхні буде дорівнює нулю. Тому, застосовуючи такі ж міркування, які були проведені в пункті 2, знайдемо, що вектор ns - n s перпендикулярний до анаберраціонной поверхні в точці А. Звідси випливає, що АР дає напрямок переломленого променя.
Доведеною теоремі можна дати також наступне формулювання. Якщо АА - Анаберраціонная поверхня відносно пари точок Р і Р raquo ;, то к...
