у і тільки в тому випадку, коли знайдеться b M, для якого висловлювання U (a1, ..., an) істинно [4].
Взагалі поняття предиката - вельми широке поняття [1]. Це видно вже з наведених вище РИМЕР. Тим не менш, ще раз підкреслимо, показавши, що n - місцева функція може розглядатися як (n + 1) - місцевий предикат. Дійсно, функції y=f (x1, ..., xn), заданої на безлічі М, можна поставити у відповідність вираз y одно f (x1, ..., xn) raquo ;. Цей вираз є деякий предикат P (x1, ..., xn, y). При цьому, якщо елемент b є значення функції в точці (a1, ..., an), то вислів P (a1, ..., an, b) істинно, і назад. (Подібне перетворення функції в предикат ми вже навели як приклад вище для складання натуральних чисел.)
На предикати можна подивитися і більш формально, причому з двох точок зору.
По-перше, предикат можна представити відношенням наступним чином.
Нехай предикат P (x1, ..., xn) задано на безлічі M. Розглянемо пряму ступінь цієї множини Mn=Mx Mx ... xM і підмножина Dp безлічі Mn, яке визначається рівністю:
Dp={(a1, ..., an) Mn висловлювання P (a1, ..., an) істинно}.
Ставлення Dp можна назвати областю істинності предиката P. У багатьох випадках предикат P можна ототожнити з відношенням Dp.
При цьому, щоправда, виникають деякі труднощі при визначенні операцій над відносинами, аналогічними операціями над предикатами [4].
По-друге, предикат P (x1, ..., xn), заданий на M, можна ототожнити з функцією fp: Mn {0,1}, обумовленою рівністю:
Кажуть, що предикат Р (х ) є наслідком предиката Q (х ) [5]:, якщо; і предикати Р (х ) і Q (х ) рівносильні:
,
Якщо
.
Наведемо приклади до викладеного матеріалу.
Приклад 1. Серед наступних пропозицій виділити предикати і для кожного з них вказати область істинності, якщо M =R для одномісних предикатів і < i> M =R? R для двомісних предикатів [1]:
. х + 5=1
. При х =2 виконується рівність х 2 - 1=0
. х 2 - 2 х + 1=0
. Існує таке число х , що х 3 - 2
. х + 2 lt; З х - 4
. Однозначне невід'ємне число х кратно 3
. ( х + 2) - (3 х - 4)
. х 2 + у 2 gt; 0
Рішення .
1) Пропозиція є одномісним предикатом Р (х ), I P ={- 4};
2) Пропозиція не є предикатом. Це хибне висловлювання;
3) Пропозиція є одномісним предикатом Р (х ), I P ={1};
4) Пропозиція не є предикатом. Це справжнє висловлювання;
5) Пропозиція є одномісним предикатом Р ( х ), I P =(3; +?);
) Пропозиція є одномісним предикатом Р (х ), I P ={0; 3; 6; 9};
) Пропозиція не є предикатом;
) Пропозиція є двомісним предикатом Q ( х, y ), I Q =R? R {(0,0)}.
Приклад 2. Зобразити на декартовій площині область істинності предиката [2].
Рішення . Нерівність, що становить вихідний предикат, обмежує частина площини, укладену між гілками параболи х=у 2, вона зображена сірої частиною малюнка:
Малюнок 1. Графік параболи х=у 2
Предикати, слідом за висловлюваннями, є наступним важливим предметом, досліджуваним математичною логікою.
Поняття предиката узагальнює поняття висловлювання, а теорія предикатів являє собою більш тонкий інструмент, в порівнянні з теорією висловлювань, для вивчення закономірностей процесів умовиводи і логічного слідування, що складають предмет математичної логіки [1].
Таким чином, в основному, термін предикат розуміється в сенсі вихідного визначення, тобто як мовне вираження. Пов'язано це з тим, що однією з головних цілей введення предикатів, як уже зазначалося у вступі, є вивчення виражальних можливостей логіки першого порядку, можливості подання засобами цієї логіки інформації, вираженого на якому - небудь природною мовою людей, наприклад, російською або англійською мовою.
предикат декар...
