aquo ;, x ділить y остачі raquo ;, x плюс y дорівнює 10, або x + y=10 є двомісними предикатами. Приклади тримісних предикатів, заданих на множині натуральних чисел: число z лежить між x і y raquo ;, x плюс y одно z raquo ;, | x-y |=z [4].
Зазвичай вважають, що, якщо є такий предикат, в якому немає змінних для заміни, то подібний вислів - нульместний предикат [1].
Причому місцевість предикатів не завжди дорівнює числу всіх змінних, що містяться у виразі.
Наприклад, вираз існує число x таке, що y=2 x на множині натуральних чисел визначає одномісний предикат.,
За змістом цього виразу, в ньому можна замінювати тільки змінну y. Наприклад: якщо застосувати заміну y на 6, то отримаємо справжнє висловлювання: існує число x таке, що 6=2x raquo ;, а якщо замінимо y на 7, то отримаємо помилкове (на безлічі N) вислів: існує число x таке, що 7=2x .
Предикат з замінними змінними x 1, ..., xn зазвичай позначається великою латинською літерою, після якої в дужках вказуються ці змінні. Наприклад, P (x 1, x 2), Q (x 2, x 3), R (x 1). Серед змінних в дужках можуть бути і фіктивні [2].
Визначення 2. Предикат ( n -місцевий, або n -арні lt; # 20 src= doc_zip3.jpg / gt; (або Істина і Брехня ), певна на n -й декартовій ступеня lt; # 21 src= doc_zip4.jpg / gt;,
якщо на будь-якому наборі аргументів він приймає значення 1.
Предикат називають тотожно - помилковим [2] і пишуть:
,
якщо на будь-якому наборі аргументів він приймає значення 0.
Предикат називають здійсненним, якщо хоча б на одному наборі аргументів він приймає значення 1 [5].
Наприклад, позначимо предикатом EQ (x, y) відношення рівності ( x=y ), де x і y належать безлічі дійсних чисел lt; # justify gt; Визначення 3. Предикат W (x 1, ..., xn) називається кон'юнкція предикатів U (x 1, ..., xn) і V (x 1, ..., xn), заданих на безлічі М , якщо для будь-яких а 1, ..., а n з М вислів W (а 1, ..., а n) є кон'юнкція висловлювань U (а 1, ..., а n) і V (а 1, ..., а n) [2].
Аналогічно наводяться визначення та інших згаданих вище операцій.
У логіці предикатів першого порядку вводяться і дві нові операції. Називаються вони квантором спільності і квантором існування [1]. Ці операції розглянемо спочатку на прикладах.
Нехай дано вираз: існує число х, таке, що x + y=10 raquo ;. На множині натуральних чисел цю пропозицію визначає одномісний предикат P (y), так, наприклад, Р (2) і Р (9) - істинні висловлювання, а Р (11) - помилкове. Якщо позначити предикат x + y=10 через S (x, y) (а це предикат двомісний), то P (y) можна записати так: існує х такий, що S (x, y) raquo ;. У цьому випадку говорять, що предикат P (y) отриманий з предиката S (x, y) навішуванням квантора існування на x і пишуть P (y)=(? X) S (x, y)
Розглянемо інший приклад. Вираз для всіх х справедливо, що y=- х 2 визначає на множині цілих чисел одномісний предикат Q (y). Якщо предикат y=- х 2 позначити через T (x, y), то Q (y) можна записати так: для всіх x справедливо T (x, y) raquo ;. У такому випадку говорять, що предикат Q (y) отриманий з предиката T (x, y) навішуванням квантора спільності на х і пишуть Q (y)=(? X) T (x, y).
Користуючись цими прикладами, дамо визначення в загальному вигляді.
Визначення 4. Нехай P (x 1, ..., xn) - предикат, визначений на множині M , y - змінна. Тоді вираз: для всякого y виконується P (x 1, ..., xn) - Предикат, отриманий з P навішуванням квантора спільності на змінну y , а вираз існує y такий, що виконується P (x 1, ..., xn) - Предикат, отриманий з P навішуванням квантора існування на змінну y [1].
Зауважимо, що у визначенні не потрібно, щоб y була одна з змінних x1, ..., xn, хоча в змістовних прикладах, квантор навішується на одну із змінних x1, ..., xn. Зазначена вимога не накладається, щоб уникнути ускладнення визначення формули логіки предикатів. Якщо y - одна з змінних x1, ..., xn, то після навішування квантора на y новий предикат є (n - 1) - місцевим, якщо y {x1, ..., xn}, то місцевість нового предиката дорівнює n [3].
Якщо предикат W (x1, ..., xn) отриманий з предикатів U (x1, ..., xn) і V (x1, ..., xn) за допомогою зв'язок, то істинність висловлювання W (a1, ..., an) визначається таблицями істинності цих зв'язок [3]. Нехай W (x1, ..., xn)=(? Y) U (x1, ..., xn, y). Тоді висловлювання W (a1, ..., an) істинно тоді і тільки тоді, коли для будь-якого b M істинно висловлювання U (a1, ..., an, b). Якщо ж W (x1, ..., xn)=(? Y) U (x1, ..., xn, y), то вислів W (a1, ..., an) істинно в том...
