ною величиною і знаходиться за формулою
,
де і знаходяться з виразів
і.
При частоті цей вираз переходить у вирази для статичної провідності. При значення стає рівним При значення електропровідності прагне до нульового значення. Залежність величин від частоти? зображена на малюнку (малюнок 1.5).
Малюнок 1.5
1.4 Основні недоліки моделі Друде.
Електронна теорія провідності металів, розвинена Друде, була надмірно спрощеною, оскільки в ній пропонувалося, що всі електрони мають однакову швидкість теплового руху.
Ця теорія застосовувалася для опису оптичних явищ у твердих тілах, а також різних термоелектричних явищ, ефекту Холла та інших, пов'язаних з ним ефектів. Дана модель здавалася цілком задовільною, однак вона містила кілька серйозних недоліків, від яких не вдалося позбутися до тих пір, поки в середині 20-х років до вирішення завдання не була застосована квантова механіка.
Теорія Друде не змогла пояснити цілий ряд явищ, що спостерігаються на досвіді. Після того, як був пророблений розрахунок довжини вільного пробігу, з'ясувалося, що ця величина занадто велика, щоб здаватися розумною. З досвіду відомо, що провідність значно збільшується при низьких температурах. Це призводить і до значного зростання довжини вільного пробігу. Виявилося, що цілком можна отримати значення довжин вільного пробігу порядку сотень ангстрем. Здається парадоксальним, що електрон в металі здатний без сутичок пройти шлях, що значно перевищує міжатомна відстань, яку становить усього кілька ангстрем.
Також експериментально було встановлено, що в досить великому інтервалі температур питомий опір пропорційно абсолютній температурі (? ~ T). Відомо, що lt; u gt; ~? T, а значить і? ~? T. Для того щоб теоритические результати не суперечили досвіду, потрібно припустити, що n 0 lt;? Gt; обернено пропорційно? T. Однак користуючись відомим вираз для lt; ? gt; , Обгрунтувати таку залежність неможливо. Теорія Друде не могла пояснити такі явище як позитивний знак коефіцієнта Холла для деяких металів і явище надпровідності.
2 Модель Зоммерфельда
Перші серйозні роботи з додатком статистики Фермі-Дірака до актуальних проблем електронної теорії металів були виконані Зоммерфельдом і його співробітниками в 1928р. Дані автори досліджували задачу про електронну теплоємності, після чого перейшли до проблем електронної провідності, термоіонного емісії та інших питань.
У більшості випадків, модель Зоммерфельда являє собою модель металів класичного електронного газу Друде з єдиною відмінністю: розподіл електронів за швидкостями описується розподілом Фермі-Дірака, а не Максвелла-Больцмана. Застосування квантової статистики допомогло позбавитися від ряду недоліків моделі Друде, проте багато кількісні результати, одержувані в моделі вільних електронів Зоммерфельда, раніше суперечать експериментам.
. 1 Розподіл Фермі-Дірака і його застосування
Статистика Фермі - Дірака відноситься до совокупностям частинок (наприклад, електронів), які підкоряються принципу Паулі, але у всіх інших відносинах рухаються незалежно один від одного. Зокрема, вони можуть рухатися і в зовнішньому полі, хоча у випадку вільних електронів таке відсутнє.
Розглянемо розподіл електронів по різним можливим енергетичним рівням. Як відомо, згідно з принципом Паулі, кожен рівень може бути зайнятий не більше ніж одним електроном із заданою орієнтацією спина. При температурі абсолютного нуля нижні енергетичні рівні аж до рівня Фермі цілком заповнені, так що зайнятих станів якраз достатньо для розміщення всіх електронів.
а - при температурі абсолютного нуля; b, с - при більш високих температурах.
Рисунок 2.1 - Вид функції Фермі F (Е)
Як видно з графіка, перехід від одного випадку до іншого відбувається тим швидше, чим нижче температура. При температурі абсолютного нуля функція F (E) змінюється нескінченно швидко: при всіх енергіях, менших ЕF, кожен рівень зайнятий двома електронами з різними орієнтаціями спина, в той час як при енергіях, великих EF, всі рівні порожні. Таким чином, енергія EF відповідає введеному вище рівню Фермі. При температурі абсолютного нуля це є верхній заповнений рівень енергії.
. 2 Енергія Фермі, поверхня Фермі, швидкість Фермі, температура Фермі
Рівняння Шредінгера для вільної частинки в тривимірному випадку має наступний вигляд
Рішення цього рівняння є хвильова функція, яка має вигляд
