justify"> Також для хвильової функції повинні виконуватися граничні умови, що записуються співвідношенням
де L-деякий період. Аналогічні умови повинні виконуватися для координат y і z:
Хвильові функції, що задовольняють рівнянню Шредінгера і граничним умовам, являють собою плоскі хвилі і знаходяться за формулою
де k приймає наступні значення
У останньому виразі? k - власні значення енергій станів з хвильовим вектором k, величина якого пов'язана з величиною довжини хвилі наступним співвідношенням
Імпульсу p у квантовій механіці відповідає оператор. Подіявши цим оператором на хвильову функцію запишемо результуюче вираз
В основному стані системи з N вільних електронів, зайняті стані можна описувати точками всередині сфери в k-просторі (рисунок 2.2). Енергія відповідна поверхні цієї сфери, є енергією Фермі. Хвильові вектори впираються в поверхню цієї сфери, мають довжини, рівні kF, а сама поверхня називається поверхнею Фермі.
Малюнок 2.2 - Сферична поверхня Ферм
Використовую відому формулу для об'єму кулі, а також те, що повне число станів дорівнює числу електронів N, отримуємо вираз
Використовуючи цей вираз отримаємо формулу для енергії Фермі, що встановлює залежність енергії Фермі від концентрації електронів і від їх маси. Цей вираз має вигляд
Для швидкості електронів на поверхні Фермі отримаємо формулу:
де швидкість? F називається швидкістю Фермі.
Значення температури Фермі визначається відношенням
де постійна Больцмана, температура Фермі.
3. Порівняльний аналіз моделі Друде і моделі Зоммерфельда
У своїх теоріях, розглядаючи електропровідність металів і Друде, і Зоммерфельд застосовували модель вільних електронів. Просновним відмінністю розглянутих моделей є застосування різних законів розподілу, які описували поведінку електронів в металі.
У моделі Друде застосовувалася статистика Максвелла-Больцмана. Зоммерфельд заново розглянув модель Друде, замінивши класичний розподіл за швидкостями Максвелла-Больцмана розподілом Фермі-Дірака.
Оскільки електрони повинні підкорятися принципу заборони Паулі, класична статистика Максвелла-Больцмана непридатна до електронів, оскільки вона не враховує того факту, що в будь-який момент часу даний стан може бути зайнято тільки одним електроном.
Застосування методів квантової механіки (у формі статистики Фермі-Дірака) допомогло відповісти на ряд питань, що не могла пояснити модель металів Друде, таких як мала величина питомої теплопровідності електронів, механізми електричного опору та ін ..
. 1 Порівняльний аналіз статистики Максвелла-Больцмана і Фермі-Дірака
Статистика Максвелла-Больцмана є наближеним граничним випадком, в який переходить за певних умов статистика Фермі - Дірака. У названих статистиках допустимі мікростану приймаються рівноімовірними. Але статистики відрізняються один від одного тим, як вони визначають мікростану і статистичні ваги макросостояніе.
Статистика Максвелла-Больцмана стоїть на точці зору принципової розрізнюваності частинок, навіть тоді, коли частки абсолютно тотожні. Якщо частка А знаходиться в квантовому стані I, а частинка В - в квантовому стані II, статистика Максвелла-Больцмана вважає це одним станом, а коли ці частинки поміняються місцями (т. Е. Частинка А перейде в стан II, а частинка В - в стан I) то вийде нове Мікростан (рисунок 3.1, п. 1 і 2). Квантова статистика Фермі - Дірака навпаки, приймає, що при такій перестановці ніяких змін не відбудеться - вийде в точності те ж Мікростан. Ця статистика стоїть на точці зору принципової нерозрізненості тотожних частинок.
Нехай ми маємо дві тотожні частки A і В, які треба розмістити на трьох квантових станах. Зобразимо схематично все рівноімовірні стану, що допускаються статистикою Максвелла-Больцмана (рисунок 3.1) і Фермі-Дірака малюнок (3.2) для наочного порівняння. Тотожні частки в статистиці Фермі-Дірака позначимо точками, в силу їх нерозрізненості.
Малюнок 3.1 різні квантові стани (статистика Максвелла-Больцмана)
Малюнок 3.2- Різні квантові стани (статистика Фермі-Дірака)
Очевидно, що статистики Максвелла-Больцмана і Фермі-Дірака принципово різні. Запишемо кінцеве вираження для цих двох статистик.
