Рис.1.9
Формула (1.10) являє собою розкладання вектора на складові по осях прямокутної декартової системи координат. Три складові вектора взаємно перпендикулярні, а відрізок ЗР=А служить діагоналлю прямокутного паралелепіпеда, тому
Модуль вектора:
(1.11)
Косинуси кутів, які вектор становить з координатними осями:
(1.12)
Зводячи рівності (1.12) в квадрат і складаючи, отримаємо, що кути ? , ? і ? пов'язані співвідношенням
. (1.13)
Звідси випливає, що незалежними є будь-які два кута. Третій знайдеться з рівності (1.13).
Аналітичний метод визначення результуючого вектора суми п векторів (прикладених до однієї точки). Розкладемо у формулі (1.5) кожний доданок вектор по осях декартової прямокутної системи координат:
Враховуючи, що орти входять в усі формули розкладу, винесемо їх за знак сум, отримаємо
(1.14а)
З іншого боку, результуючий вектор можна також розкласти по осях координат:
(1.14б)
Зіставляючи формули (1.14а) і (1.14б), отримаємо, що проекції результуючого вектора можна обчислити по проекція складових векторів за формулами
(1.15)
Модуль результуючого вектора:
(1.16)
а його напрямок по відношенню до осей координат - при допомоги направляючих косинусів:
(1.17)
Скалярний добуток двох векторів. Скалярний добуток двох векторів являє собою скалярну величину, рівну добутку модулів перемножуєте векторів на косинус кута між ними. Позначають скалярний добуток так:
(1.18) де С - скалярна величина.
Згідно з визначенням
С=А * У cos ? , (1.19) де?- Кут між векторами і .
Якщо? =0, то С= А * В, а при? =? С = - А * В. Звідси, зокрема, випливає, що, отримуємо
(1.20)
Якщо ж? =?/2, то З =0, то
. (1.21)
Скалярні твори однойменних ортов осей, прямокутної
декартової системи координат, рівні одиниці, а різнойменних - нулю.
З формули (1.18) випливає, що
(1.22)
Скалярний добуток має властивість коммутативности
а також властивістю дистрибутивності:
.
При множенні скалярного твори на скалярний множник досить помножити на нього один з векторів:
.
Векторний добуток двох векторів. Векторний добуток двох векторів позначають так: . Векторний добуток двох векторів (ріс.1.10) являє собою вектор:
. (1.23)
Модуль вектора визначають за формулою
С = АВ sin а , (1.24)
де А і В - модулі векторів і .
Чисельне значення дорівнює площі паралелограма, побудованого на векторах-співмножник. Дійсно (ріс.1.11), величина
У sin а=h
є висота паралелограма, якщо за підставу прийняти вектор , і навпаки.
Тому
А В sin a=S ? ???? .
? ??. 1.10? ??. 1.11
?????? ????? ??????????? ? ???????, ?????? ??????? ??????? ? ??????? ??????? ?? ??????????? ???? ?????? ??????? ???????: ??? ? ?????? ?? ? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ? ??? ?? ???? ? ?? ? ?? ? ? ? (???. 1.10).
????????? ???????????? ???????????? ???????? ????? ????:, ???? , ??? ??? ??? ???? ? =0? sin ? =0.
??????,? ?????????, ??? ????? ????????????? ??????? ????????? ???????, ???
(1.25)
??? ???????? ??????? ???????????? ????????? ???????????? ?????? ???? ????:
(1.26)
??? ???????? ?????? ?? ???. 1.10.
???? ??????? ? ??????? ???????????????, ?? sin 900=1? . ?????????????? ?? ???. 1.11 ??? ???? ???????????? ? ?????????????.
? ???????????? ? ???????????? ?????????? ???????????? ???? ???????? ? ??? ????????? (1.26) ???????? ?????????, ???
...
