. Таким чином, правило полягає в послідовному попарном складення доданків векторів.
Рис. 1.4 Рис. 1.5
Додавання за правилом багатокутника (рис.1.5). До кінця першого вектора приєднуємо другий, потім до кінця вектора приєднуємо вектор і т. Д. Результуючий вектор отримаємо, провівши стрілку з початку першого вектора в кінець останнього.
Векторна формула суми n векторів має вигляд:
(1.5)
Аналітична форма запису вектора. Проекція вектора на вісь. Сумісний лінію дії вектора з деякою віссю v , на якій виберемо позитивний напрямок відліку. Цей напрямок покажемо за допомогою одиничного вектора (рис.1.6), який називають також ортом осі v . Модуль орта ||=l. Вектор в цьому випадку можна записати як
=Аv , (1.6)
де Аv - алгебраїчне значення вектора, тобто його величина, взята зі знаком «плюс» чи «мінус».
Знак «плюс» беруть, якщо напрямок вектора позитивне, тобто збігається з напрямком орта осі (рис.1.6, а), а «мінус» - в іншому випадку (рис.1.6, б)
Рис.1.6 Ріс.1.7
Нехай дано вектор, лінія дії якого перетинається з деякою віссю v (ріс.1.7). Опустимо перпендикуляри з початку Про і кінця вектора на вісь v . Відрізок прямої О1Р1 взятий зі знаком «плюс» чи «мінус», і буде проекцією вектора на вісь v . Знак «плюс» беруть у випадку, якщо вектор збігається з напрямком осі, і «мінус» - якщо вектор має протилежний напрямок.
Для обчислення проекції необхідно знати кут між вектором і позитивним напрямом осі. Цей кут можна визначити, якщо провести з початку Про вектора лінію Ov , паралельну осі v так, щоб спрямований відрізок вказував на позитивний напрямок. Якщо з кінця Р вектора опустити перпендикуляр на лінію Ov , то відрізок ЗР буде проекцією вектора на лінію Ov і очевидно, що О1Р1=ОР .
З трикутника ОРР ' знайдемо, що
Таким чином,
Аv=А cos ? (1.7)
де А - модуль вектора .
Якщо кут 0? ? lt; ?/2, то проекція Av, позитивна. При? =?/2 Аv =0. Якщо ж?/2 lt; ? ? ?, То проекція Av, негативна.
Спрямований відрізок можна записати у вигляді вектора, виходячи з попереднього визначення:
(1.8)
Декартова прямокутна система координат. Три взаємно перпендикулярні осі х, у, z (рис.1.8) утворюють декартову прямокутну систему координат. Є дві системи прямокутних координат - права і ліва.
Для правої системи координат поворот осі х на 900 до суміщення її з віссю у видно з боку осі z проти годинникової стрілки (ріс.1.8.а), а для лівої - за годинниковою (ріс.1.8.б). Аналогічно, справедливо і при повороті осі у до суміщення її з віссю z, а також осі z, до суміщення її з віссю х.
Позитивний напрямок осей задають за допомогою одиничних векторів - ортов осей. Орт осі х позначають через, орт осі у - через і орт осі z - через . Будь просторовий вектор може бути розкладений по векторах базису, , , т.е для будь-якого вектора існує, і притому тільки одна, упорядочном трійка чисел ( xo, yo, zo ) така, що
.
Рис.1.8
Правила дії над векторами, заданими своїми координатами. Нехай вектора і задані своїми координатами;
і.
) Координати суми двох векторів дорівнюють сумі відповідних доданків:
.
) Координати різниці двох векторів рівні різниці відповідних координат цих векторів:
.
) Координати добутку вектора на число дорівнюють добутку відповідних координат даного вектора на це число:
.
) Скалярний добуток двох векторів дорівнює сумі добутків відповідних координат цих векторів:
.
Розкладання вектора по осях декартової прямокутної системи координат. Сумісний початок системи координат з початком вектора (рис.1.9) і проведемо через його кінець площині, паралельні площинам координат Оху, Oyz, Oxz .
Останні отсекут на осях координат відрізки, які, очевидно, є проекціями вектора на осі координат. Якщо вектор становить з осями координат кути ? , ? і ? , то проекції
Ах=А cos?, Ау=А cos?, АZ=А cos?. (1.9)
Складові вектора по осях координат:
Геометрична сума їх дає вектор
. (1.10) ...
