. Знайдемо примушену складову відгуку:
Для цього звернемося до рис.10, на якому зображена схема ланцюга при після комутації. Тоді отримуємо, що
Малюнок 10. Схема ланцюга при .
. Складемо диференціальне рівняння:
Для цього спочатку запишемо рівняння балансу струмів у вузлі за першим законом Кірхгофа і запишемо деякі рівняння на підставі другого законів Кірхгоффа:
Використовуючи компонентні рівняння перетворимо перше рівняння:
Висловимо всі невідомі напруги через:
Тепер диференціюючи і перетворюючи отримуємо диференціальне рівняння другого порядку:
Підставами відомі константи і отримаємо:
5. Запишемо характеристичне рівняння і знайдемо його корені:
Звідси ми знайдемо коефіцієнт загасання і частоту вільних коливань:
Таким чином, так як корені характеристичного рівняння комплексно - зв'язані, то вільну складову відгуку ланцюга можна знайти в такому вигляді:
.Найдем постійні і: Для цього запишемо систему рівнянь, використовуючи залежні початкові умови і знаючи, що відгук являє собою суму вільної і вимушеної складової:
Уявімо, тоді
7. Тепер запишемо рівняння відгуку ланцюга і побудуємо його графік (рис.11):
На малюнку 11 зображено два графіка перехідних характеристик, знайдених різними методами: операторних і класичним. Так як вони повністю збігаються можна зробити висновок, що перехідна характеристика знайдена вірно.
Малюнок 11. Графіки перехідної характеристики g (t)
2.6 Визначення відгуку ланцюга на задане вхідний вплив при відключеному навантаженні
Розглянемо розрахунок відгуку в заданого ланцюга при напрузі на вході
.
Отклик можна знайти за допомогою класичного або операторного методів аналізу перехідних процесів. Оскільки початкові умови нульові і відома операторна характеристика ланцюга, скористаємося операторних методом аналізу перехідних процесів.
Операторний відгук на вплив дорівнює добутку операторного коефіцієнта передачі ланцюга та зображення синусоїди по Лапласа:
(15)
Перетворимо вираз (15) до виду, зручного для застосування зворотного перетворення Лапласа:
(16)
Вираз (16) відповідає в таблиці перетворень Лапласа наступному співвідношенню:
(17)
Враховуючи, що:
Отримаємо оригінал відгуку:
У результаті:
Графіки впливу на ланцюг і відгуку наведені на рис.12 і 13. Інтервал розрахунку чисельних значень ланцюга на заданий вплив визначається практичним закінченням перехідних процесів після комутації. У нашому випадку.
Малюнок 12. Графік впливу
Малюнок 13. Отклик ланцюга на заданий вплив
Висновки
Отримані результати дозволяють зробити наступні висновки:
· Первинні параметри чотириполюсника задовольняють умові взаємності:; Чи не монотонність АЧХ і не монотонність крутизни ФЧХ вказують на можливість виникнення в ланцюзі резонансних явищ. Частота резонансу амплітуд за графіком рис.3 становить;
· Комплексно - зв'язані полюси операторного коефіцієнта передачі вказують на коливальний характер перехідних процесів в ланцюзі. Частота вільних коливань перевищує частоту резонансу амплітуд, постійна ланцюга;
· Перехідна характеристика є квазігармоніческіх функцією, співвідношення для зображення і оригіналу виконані:
· Імпульсна характеристика також є квазігармоніческіх функцією, яка прагне при до нуля. Постійна часу і квазіперіод коливання тимчасових характеристик збігаються з результатами, отриманими з аналізу операторного коефіцієнта передачі; АЧХ розглянутої ланцюга близька до АЧХ ідеального фільтра нижніх частот з граничною частотою.
Список використаної літератури
1. Попов В.П. Основи теорії кіл: Підручник для вузів - четверта изд., Испр.- М .: Вища. шк., 2003. - 575с .: ил.
. Корн Г., Корн Т., Довідник з математики для інженерів і учнів вузів. М .: Наука, 1973, 832 с.
