кі в порівнянні з довжиною хвилі світла. Ми можемо тоді розглядати кожну з цих ділянок, до яких дійшла світлова хвиля, так, як ніби він сам ставати джерелом світлової хвилі, що розповсюджується в усі сторони від цієї ділянки. Поле в точці Р ми будемо розглядати як результат накладення полів, що виходять з усіх ділянок df поверхні, що закриває отвір (так званий принцип Гюйгенса).
Поле, створюване ділянкою df в точці Р, пропорційно значенню і поля в самій ділянці df (нагадуємо, що поле в df ми припускаємо таким, яким воно було б при відсутності екрана. Крім того, воно пропорційно проекції df n площі df на площину, перпендикулярну до напрямку n променя, що прийшов з джерела світла в df. Це випливає з того, що який би формою не володів ділянку df , через нього будуть проходити однакові промені, якщо тільки його проекція df n буде незмінною, а тому і його дія на поле в точці Р буде однаковим.
Таким чином, поле, створюване в точці Р ділянкою df, пропорційно udf n . Далі, треба ще врахувати зміну амплітуди і фази хвилі при її поширенні від df до точки Р. udf n треба помножити ще на (де R відстань від df до Р, а до - абсолютна величина хвильового вектора світла), і ми знаходимо, що шукане поле дорівнює [6]:
(4)
де а є невідома поки постійна. Повне ж поле в точці Р, що є результатом накладення полів, створюваних усіма df , є:
(5)
де інтеграл поширений по поверхні, обмеженої краєм отвору. Цей інтеграл в розглянутому наближенні не залежить, звичайно, від форми цієї поверхні. Формула (5) застосовна, очевидно, і до дифракції немає від отвори на екрані, а від екрану, навколо якого світло може вільно поширюватися. У цьому випадку поверхня інтегрування в (5) простирається в різні боки від краю екрану.
Для визначення постійної а розглянемо плоску хвилю, що поширюється уздовж осі x; хвильові поверхні паралельні площині yz. Нехай і є значення поля в площині yz. Тоді в точці Р, яку ми виберемо на осі ж, поле дорівнює:
(6)
З іншого боку, поле в точці Р можна визначити, виходячи з формули (5) і вибравши як поверхні інтегрування, наприклад, площина yz. При цьому через малість кута дифракції в інтегралі істотні тільки точки площини yz , близькі до початку координат, тобто точки, в яких y, z lt; lt; x (x - координата точки P).
Тоді:
(7)
І це з урахуванням (5) дає:
(8)
де і - постійна (поле в площині yz) ; в множнику 1 /R можна покласти. Стоять тут інтеграли підстановкою приводяться до вигляду:
(9)
І ми отримуємо:
(10)
При виведенні формули (10) джерело світла передбачався, по суті, точковим, а саме світло-строго монохроматичним. Випадок реального протяжного джерела, що випускає немонохроматичним світло, не потребує, однак, в спеціальному дослідженні. Внаслідок повної незалежності (некогерентности) світла, що випускається різними точками джерела, і некогерентности різних спектральних компонент випускається світла сумарний результат дифракції зводиться просто до суми розподілів інтенсивності, що виходять від дифракції кожної з незалежних компонент світла.
Застосуємо формулу (10) для вирішення питання про зміну фази при проходженні променя через точку його торкання з каустик. Виберемо як поверхні інтегрування в (10) яку-небудь хвильову поверхню і будемо визначати поле u p в точці Р, що лежить на деякому даному промені на відстані х від точки його перетину з обраної хвильової поверхнею (цю точку виберемо як початку координат О, а в якості площині yz - площину, дотичну до хвильової поверхні в точці О). При інтегруванні в (10) существен тільки невелику ділянку хвильової поверхні поблизу точки Про. Якщо площині ху і xz обрані співпадаючими з головними площинами кривизни хвильової поверхні в точці О, то поблизу цієї точки рівняння поверхні є:
(11)
де R 1 і R 2 - радіуси кривизни....
