так що точка Z лежить всередині відрізка А 1 А 2, причому m 1 | |=m 2 | |, тобто m l d 1=m 2 d 2. Це і є «архимедова правило важеля»; з нього видно, що центр мас двох матеріальних точок ближче до «більш масивною» з них, тобто до тієї, у якій маса більше (рис. 2)
Нарешті, доведемо справедливість властивості 3.
Теорема 3. Нехай в системі (5), що складається з n матеріальних точок, відзначені k матеріальних точок m 1 A 1 ... m до А до (рис. 3) і нехай С - центр мас відзначених матеріальних точок. Якщо всю масу відзначених матеріальних точок, зосередити в їх центрі мас С, то від цього положення центру мас всієї системи не зміниться. Інакше кажучи, система (5) має той же центр мас, що і система матеріальних точок (m 1 + ... + m к) C, m k + l A k + 1, .., mn A n.
Доказ. Нехай Z - центр мас системи (5), т. Е. (Див. (6)) 1 + ... + mk + m k + 1 k + l + ... + mnn =.
Так як С - центр мас системи матеріальних точок m 1 А 1, ..., m до А до, то по теореме1
=
(це рівність виходить з (7), якщо 0, Z, n замінити на Z, С, n замінити на Z, C, k). З написаних двох рівностей випливає, що
(m 1 + ... + mk) + m до + 1 до + 1 + ... + mnn =,
а це і означає, що центром мас системи матеріальних точок (m 1 + ... ... + mk) C, m до + 1 А до + 1, ..., mn A n є та ж точка Z.
Доведена теорема дозволяє у ряді випадків видозмінити систему матеріальних точок, зберігаючи положення центру мас всієї системи. Наприклад, якщо у вихідну систему (5) входять дві матеріальні точки рівної маси, розташовані в точках А і В, то від заміни цих двох матеріальних точок однієї матеріальної точкою подвоєної маси, поміщеної в середині відрізка АВ, положення центру мас всієї системи (5) не зміниться. Саме таким шляхом була доведена теорема Архімеда про перетин медіан трикутника.
З теоремою 3 пов'язані наступні прості зауваження, які часто дозволяють зробити більш короткими вирішення завдань.
Зауваження 1. Нехай Z (рис. 4) - центр трьох мас, пометенних у вершинах трикутника АВС. Тоді пряма AZ перетинає сторону НД в точці А ', що є центром тих двох мас, які поміщені в кінцях цієї сторони НД
Рис. 4 Рис.5
Зауваження 2. Нехай у вершинах А, В, С деякого трикутника (рис. 5) поміщені маси т 1, т 2, m 3; нехай В - Центр мас матеріальних точок. m 1 А і m 3 С, а С - Центр мас матеріальних точок т 1 А і т 2 В. Тоді точка Z перетину прямих ВВ і СС є центр всіх трьох мас, поміщених у вершинах трикутника.
доведеної теореми 1 - 3 завершується математичне введення поняття центру мас і доказ основних його властивостей.
. Властивості центру мас
Всяка система, що складається з кінцевого числа матеріальних точок, має центр мас і притому єдиний.
Центр мас двох матеріальних точок розташований на відрізку, що з'єднує ці точки; його положення (рис. 6) визначається архімедовим правилом важеля (або, як його ще називають, «золотим правилом механіки»): добуток маси матеріальної точки на відстань від неї до центру мас однаково для обох точок, тобто m 1 d 1=m 2 d 2, де ml, m 2 - маси матеріальних точок, ad 1, d 2 - відповідні плечі, т. е. відстані від матеріальних точок до центру мас.
3. Якщо в системі, що складається з кінцевого числа матеріальних точок, відзначити кілька матеріальних точок і маси всіх зазначених точок перенести в їх центр мас, то від цього положення центру мас всієї системи не зміниться.
Глава 2. Рішення геометричних задач барицентрична методом
При вирішенні геометричної задачі барицентрична методом ми завантажуємо окремі точки масами (т. е. зіставляємо, приписуємо цим точкам певні позитивні числа). Потім залучаємо властивості центрів мас усіх отриманих матеріальних точок або частини цих матеріальних точок. Мистецтво застосування барицентрична методу полягає в тому, щоб за умовою задачі здійснити такий вибір точок і які розміщені в цих точках мас, при якому завдання легко вирішується. Три основних властивості центрів мас особливо важливі при вирішенні завдань: 1) наявність і єдиність центру мас у будь-якої системи матеріальних точок; 2) належність центру мас двох матеріальних точок відрізку, що з'єднує ці точки; 3) можливість перегрупування матеріальних точок системи без зміни положення центру мас всієї системи;
. Позитивні маси
Завдання 1: У трикутнику ABC (рис. 7) точка F ділить підставу НД у відношенні 3: 1, рахуючи від вершини В. Точки М і Р відсікають від бічних сторін АВ і АС по одн...
