Зміст
Введення
. Класифікація точок регулярної поверхні
. Опуклі тіла і поверхні
.1 Основні поняття
.2 Кривизна
.3 Питома кривизна опуклої поверхні
.4 Неізгібаемость сфери
.5 Сфера як єдина овальна поверхню постійної середньої кривизни
. Сідлові поверхні
.1 Основні поняття і властивості
.2 Необмеженість сідлових трубок
.3 Проблема Плато
.4 Повні сідлові поверхні із взаємно однозначним сферичним зображенням
Висновок
Список літератури
Введення
Викладу дослідження зовнішньої геометрії поверхонь з постійним типом точок присвячена дана робота. До неї увійшли питання, які стосуються опуклим і Седлова поверхням.
Проблема даного дослідження носить актуальний характер в сучасних умовах. Про це свідчить часте вивчення порушених питань, їх дослідженню присвячено безліч робіт. В основному матеріал, викладений у навчальній літературі, носить загальний характер.
Диференціальна геометрія протягом XIX ст. розвивалася в тісному контакті з механікою і аналізом, особливо з теорією диференціальних рівнянь в приватних похідних. Так як в цей період в аналізі багато займалися питаннями формального інтегрування, то і для диференціальної геометрії була природною проблематика формально-аналітичного напряму. Основним об'єктом теорії поверхонь були регулярні поверхні, що розглядаються в малому .
У XX ст., навіть на початку його, питання формального характеру вже ніяк не могли вважатися актуальними для механіки і аналізу. Тим часом в теорії поверхонь переважна більшість досліджень все ще продовжувало традиції XIX ст. Таким чином, між класичною теорією поверхонь, з одного боку, аналізом і механікою - з іншого, утворився розрив. Більш сучасні проблеми та якісні методи аналізу і механіки виявились чужими класичної теорії поверхонь. І всередині класичної теорії поверхонь намітилася нова гілка, предметом якої залишалися регулярні поверхні, але досліджувані в цілому raquo ;; ця гілка також змикалася з сучасним аналізом. Але тут вельми істотно зауважити наступне: в той час як ті відділи геометрії в цілому raquo ;, де вивчалися властивості твердій поверхні, вже давно розташовували досить розгорнутої системою загальних методів (принаймні, для опуклих поверхонь), дослідження деформацій поверхонь і зв'язків між їх внутрішніми і зовнішніми властивостями ( в цілому ) носили уривчастий характер. Все це пояснюється тим, що геометри, які працювали в галузі геометрії в цілому raquo ;, підходили до завдань цієї області все ще із засобами класичного аналізу, який тут в більшості випадків виявляється мало придатним. Для успішного розгортання змістовної теорії поверхонь виявилося настійно необхідним побудувати систему загальних прямих методів дослідження внутрішніх властивостей поверхні. Це і було зроблено А. Д. Александровим (при участі його учнів І. М. Лібермана і С. П. Оловянишникова). Опуклі поверхні, природно, являють собою особливо сприятливе поле для конкретних і геометрично наочних результатів. Але справа не тільки в окремих результатах. Для розвитку кожного відділу математики важливий загальний рівень його проблем і методів, важливо, щоб цей рівень відповідав прогресу науки. Для розвитку теорії поверхонь важливо, щоб вона не була ізольованою, замкнутою в собі дисципліною. Дослідження А. Д. Александрова, А.В.Погорелова, А.Л.Вернера та інших математиків тому, саме, мають велике значення для теорії поверхонь, що вони відкривають у ній нові області проблем і відповідних їм методів, що йдуть в ногу з прямими методами сучасного аналізу.
Актуальність цієї роботи зумовлена, з одного боку, великим інтересом до цієї теми в сучасній науці, з іншого боку, її недостатньою розробленістю. Розгляд питань пов'язаних з даною тематикою носить як теоретичну, так і практичну значимість.
Метою дослідження є вивчення теоретичних аспектів теми Зовнішня геометрія поверхонь з постійним типом точок з погляду новітніх вітчизняних і зарубіжних досліджень з подібною проблематики.
1. Класифікація точок регулярної поверхні
Поверхность S, задану векторним рівнянням, називатимемо -Регулярно, якщо в області завдання параметрів D функція має безперервні похідні порядку k (k 2) і в усіх точках області D виконується нерівність.
Другий квадратичною формою поверхні S називається скалярний добуток векторів і n [13, стор.81]:
. (1)
Неважко помітити, що в кожній точці поверхні S форма (1) є квадратичною формою щодо диференціалів і.
Для коефіцієнтів другого квадратичної форми прийняті позначення
...
