ій шостій, вважаючи відповідно від вершини А і від вершини С. У якому відношенні ділиться кожен з відрізків MP і AF точкою їх перетину?
Рішення: Завантажимо точки В і С такими масами, щоб їх центром виявилася точка F; очевидно, достатньо (в силу правила важеля) помістити в У масу 1 (т. е. розглянути матеріальну точку 1В), а в С - масу 3. Далі, маючи вже матеріальну точку 1В, підберемо для точки А таку масу х, щоб точка М виявилася центром мас двох матеріальних точок 1B і хА. За правилом важеля маємо 1 | ВМ |=х | МА |, звідки х=| ВМ |: | МА |=5. Нарешті, маючи матеріальну точку ЗС, підберемо для точки А ще іншу масу у так, щоб точка Р виявилася центром мас двох матеріальних точок ЗС і УА. За правилом важеля маємо 3 | CP |=у | РА |, звідки у=3 | CP |: | РА |=0.6. У нас виникла нова ситуація: крім матеріальних точок 1В і ЗС, ми маємо в точці А дві різні маси 5 і 0,6.
Розглянемо систему з усіх чотирьох матеріальних точок 1В, 5А, ЗС і 0,6А. Її центр мас позначимо через Z. Перенесемо маси матеріальних точок 1B і 5А в і їх центр мас М, а маси матеріальних точок ЗС і 0,6А - в їх центр мас Р. Тоді Z виявиться центром мас лише двох матеріальних точок 6М і 3, 6Р. Значить, ZЄ [MP]. Ми могли б і інакше згрупувати ті ж чотири матеріальні точки: перенести маси матеріальних точок 1В і ЗС в їх центр мас F, а замість 5А і 0,6А розглянути одну матеріальну точку 5,6А. Тоді Z виявиться центром мас двох матеріальних точок 4F і 5,6А. Тому ZЄ [AF]. Отже, Z - точка перетину відрізків MP і AF. Так як Z - центр мас матеріальних точок 5,6А і 4F, то 5,6 | AZ |=4 | FZ |, так що | AZ |: | ZF |=5: 7. Аналогічно переконаємося, що 6 | MZ |=3,6 | PZ |, звідки | MZ |: | ZP |=3: 5.
Завдання 2: Через точку Р, розташовану всередині паралелограма ABCD, проведені прямі, паралельні сторонам паралелограма. Вони перетинають сторони АВ, ВС, CD, DA відповідно в точках К, L, М, N (рис. 8). Нехай Q - точка перетину середніх ліній чотирикутника KLMN, a S - центр паралелограма. Доведемо, що точка Q лежить на відрізку PS, і визначимо, в якому відношенні ділить вона цей відрізок. Рішення: Спочатку завантажимо вершини чотирикутника KLMN масами так, щоб центром отриманих чотирьох мас виявилася точка Q.
Для цього досить помістити в кожну з точок К, L, М, N масу 1. Зауважимо тепер, що KBLP - паралелограм; тому можна замінити матеріальні точки 1К і 1L на матеріальні точки 1B і 1Р, т. е. Q є центром мас матеріальних точок 1B, 1P, 1М, 1N. Аналогічно матеріальні точки 1M і 1N можна замінити на матеріальні точки 1D і 1P. Точка Q виявиться центром мас чотирьох матеріальних точок 1В, 1P, 1D, 1P, а значить, центром мас двох матеріальних точок 2S і 2Р (оскільки S - середина відрізка BD). Але тоді по пр?? вилу важеля точка Q розташована на відрізку SP і ділить його навпіл.
. Негативні маси
У попередніх міркуваннях все маси виражаються позитивними числами. Однак формальні визначення понять «матеріальна точка» і «центр мас» придатні і тоді, коли «маси» беруться з інших числових множин. Якщо стати на таку більш загальну точку зору виникають нові змістовні геометричні додатки поняття центру мас. І хоча формально певним «матеріальним точкам з негативними масами» ми не можемо зіставити фізичні образи настільки ж звичні, як у випадку позитивних мас, однак і в таких більш загальних випадках використання термінології, запозиченої з механіки, дозволяє залучити фізичну інтуїцію до пошуку рішень завдань. Математично ж рішення виходять бездоганно строгими. Нижче наводяться коректні визначення центрів мас для випадку дійсних або комплексних мас і докази їх властивостей.
Дані північніше (в 2) математичні визначення понять «матеріальна точка» і «центр мас системи матеріальних точок» застосовні і в тому випадку, коли «маси» (всі або деякі з них) є негативними числами. Наприклад, «матеріальна точка» (- 3) А - це точка А разом з співставленим їй числом - 3, а «центр мас двох матеріальних точок (- 3) А і 5В» - це така точка для якої виконується векторне рівність (рис. 9).
Якщо зажадати, щоб сумарна маса системи m 1 A 1, m 2 A 2, ..., mn А n (тобто число m 1 + m 2 + ... + mn) була відмінна від нуля (що ми і будемо припускати усюди надалі), то залишаються в силі: а) визначення центру мас; б) теорема 1; в) наслідок з теореми 1 про існування та єдиності центру мас у будь-якої системи матеріальних точок.
Деякий зміна зазнає теорема 3 про можливість перегрупування матеріальних точок: для справедливості цієї теореми доводиться припускати, що не тільки сумарна маса m 1 + ... + mn всієї системи відмінна від нуля, але і сума мас відзначених матеріальних точок (т. е. m 1 + ... + mk) відмінна від нуля. Причина цих обмежень зрозуміла: сумарна маса m 1 + ... + mn стоїть в зна...
