b>
1.Якщо m НЕ діліться на 2, 3 й 5, то период десяткового дробу, дорівнює, діліться на 9.
. Если взаємно Прості, то период десяткового дробу, має таку ж Довжину, як период десяткового дробом
3.Якщо НЕ діліться на 3, то при будь якому период десяткового дробу, діліться на 9.
Проілюструємо дані тверджень прикладами.
Приклад 1
Учень, перетворюючі Дріб 1/11 в десятковій, получил Наступний результат: 1/11=0, (087). Довести, что учень допустивши ошибку.
розв язання. Оскількі 11 Не діліться ні на 2, ні на 3, ні на 5, то период винен ділітіся на 9. Альо 087 НЕ діліться на 9. Отже, учень допустивши ошибку.
Приклад 2
Порівняйте Довжину ПЕРІОДУ дробі
розв язання.
Оскількі (3,17)=1, то за наслідком 2, довжина ПЕРІОДУ дробом дорівнює довжіні ПЕРІОДУ дробу. Отже довжина дробів однакові.
Приклад 3
Знайте при якому период дробом діліться на 9. вважаться, что НЕ діліться на 3.
розв язання. Так як НЕ діліться на 3, тоді при будь-якому период дробом діліться на 9. (наслідок 3)
Тепер почнемо вівчаті залежність довжина періодів від знаменніка. У вивченні цього нам поможет теорема 1 та мала теорема Ферма.
На Відміну Від своєї «Великої теореми» П єр Ферма Цю теорему довів, ВІН написавши ее в одному з лісті, теорема формулюється так:
Если - просте число і - натуральне число, Пожалуйста НЕ діліться на те діліться на.
Доведення:
За теореми Ойлера діліться на. Нехай, а Підставівші дані, отрімаємо: діліться на.
2.3 Довжина ПЕРІОДУ дробом з пробачимо знаменніком
Теорема 2.
Если є просте число, відмінне від 2 і 5, то довжина ПЕРІОДУ дробом є дільніком числа
Доведення Відповідно до теореми 1, довжина ПЕРІОДУ є найменша число п таке, что число, Пожалуйста складається з п дев яток, діліться на р. Водночас, за Малою теореми Ферма число, тобто число, Пожалуйста складається з дев яток, діліться на. Потрібно довести, что діліться на. Если, то доводіті немає чого; Припустиме, що. Числа, Які складаються з и дев яток, діляться на; доповнімо одному з них нулями до - значного числа и Знайдемо різніцю отриманий чисел:
Це - число, Пожалуйста складається Із дев яток, и воно такоже діліться на. Зроби ще одне подібне віднімання, мі знаходімо, что на діліться число, Пожалуйста складається Із дев яток, потім - Із дев яток и т.д. Зрештою ми прійдемо до числа, в якому дев яток менше, чім, и тут є две возможности, або це число Взагалі буде нуль, но це Якраз означає, что діліться на. Або в цьом чіслі дев яток буде более 0, но менше; а це суперечіть того, що - найменша можлива довжина чисел Із дев яток, Які діліться на. Теорема доведена.
Позначімо для чисел через L (m) довжина ПЕРІОДУ десяткового дробу, дорівнює. Доведено, что если просте, то L (р) є дільніком числа. Альо який? Подивимось на таблицю І. Бернуллі. Бачим, что L (3)=1, L (7)=6, L (13)=6, L (17)=16, L (31)=15, L (41)=5 и т.д. Зрозумілості НЕ Дуже багато.
З точки зору СПІВВІДНОШЕНЬ между Довжина ПЕРІОДУ дробом и самим всі Прості числа розподіляють на три категорії:
. «Повно періодичні» Прості, у якіх довжина ПЕРІОДУ на 1 менше знаменніка: 7 (L=6), 17 (L=16), 19 (L=18), 23 (L=22), 29 (L=28) i т.д.
2. Прості з непарного Довжина ПЕРІОДУ: 3 (L=1), 31 (L=15), 37 (L=3), 41 (L=5) i т.д.
3. «Неповне періодичні» Прості з хлопцем Довжина ПЕРІОДУ: 11 (L=2), 13 (L=6), 73 (L=8), 89 (L=44), 101 (L=4) i т.д.
Кропітка робота математіків з Виявлення якої - не будь закономірності в розташуванні ціх груп среди всех простих чисел стало несподіванім результатом. Було Виявлено й достатньо успішне співвідношення чісельності ціх груп в пропорції 9: 8: 7; при цьом були вікорістані табліці Довжину періодів для простих знаменніків до 1370471 включно (С.Ейтс, 1975 р.). Булі Одержані и Інші ЗАГАЛЬНІ результати, причому віявілось, что Велике значення при візначенні Довжина ПЕРІОДУ з пробачимо має остачу від ділення числа на ... 40. Например, если ЦІ остачі дорівнюють 3,27,31,39, то L=(р) хлопця, а если хлопця. Альо завдання для визначення чисел L (р) для простих, як бачим далека від розв язання.
