ми аксіом Вейля Надамо конкретних Зміст помощью дійсніх чисел, тому така реалізація назівається Арифметичний.
1. Вектором назвемо будь-яку матрицю стовпець вигляд де - довільні дійсна числи. При цьом два вектори збігаються тоді и только тоді, коли відповідні елементи двох матриць Рівні. Збігання векторів позначатімемо знаком рівності.
. Точкою назвемо будь-яку матрицю-рядок вигляд де - довільні дійсна числа. При цьом две точки и збігаються тоді и только тоді, коли.
3. Сумою векторів i назвемо вектор
. Добутком числа k на вектор назвемо вектор
. Скалярним добутком векторів І, встановленим ненульовім вектором назівається число.
6. Належність упорядкованої парі точок и вектору візначається умів
Можна переконатісь, что при таких Означення основних об'єктів и основних відношень всі аксіомі Вейля трівімірного евклідового простору віконуються. Перевірка аксіом Першої, Другої, третьої и четвертої груп почти трівіальна, если взяти за нульовий вектор матриці-стовпчики (Аксіома 1.3) б а за три лінійно незалежні векторів (Аксіома 4.1) матриці стовпці Перевірімо реалізацію аксіом 1 і 2 [15, c.303 ].
Аксіома 1. Нехай А=- довільна точка и -довільній вектор.
Треба довести, что існує один и только одна точка - така, что вектор =. За зазначену належності (6) при цьом має Виконувати Умова: З цієї умови віпліває, щ о існує один и только один трійка чисел, яка задовольняє ЦІ числові рівності.
Аксіома 2. Нехай маємо трьох довільні точки,,.
За домовленістю (6) знаходімо векторів:
Тоді
Аксіома 2 доведена.
Отже система аксіом Вейля. а того и геометрія Евкліда, несуперечливості настолько, наскількі несуперечливості, є арифметика дійсніх чисел [9, c.180].
2.2 Незалежність системи аксіом Г. Вейля
Як вже позначають, несуперечливості система аксіом назівається Незалежності (мінімальною), если Кожна Аксіома даної системи не є логічнім наслідком других аксіом цієї системи.
Нехай - дана система аксіом геометрії. Для доведення, например, незалежності аксіом від аксіом треба побудуваті нову систему аксіом де -заперечення аксіомі, и довести ее несуперечлівість. Если Аксіома є наслідком аксіом то вона буде наслідком Із системи, тобто в Цій новій аксіоматіці аксіому можна довести як теорему. Отже, у новій аксіоматіці матімуть місце дві суперечлівіх между собою тверджень i, но тоді ця аксіоматіка НЕ ??буде несуперечливості [17, c.157].
Розглянемо декількапримеров доведення незалежності ОКРЕМЕ аксіом Вейля.
1. Доведення незалежності аксіомі 4.1 від аксіом простору.
Треба довести несуперечлівість системи аксіом
(1.1-1.4,2.1-2.4, 3.1-3.5, 4.2. 5.1, 5.2}, (1)
де - заперечення аксіомі 4.1.
Для цього вікорістаємо Арифметичний реалізацію, побудовану для доведення несуперечлівості системи аксіом Вейля простору но внесемо до неї деякі Зміни: вектором назвемо будь-яку матрицю-стовпчики, де і - довільні дійсна числа, скалярним добутком векторів i встановленим ненульовім вектором назвемо число
При таких домовленностей всі аксіомі системи (1) віконуються, зокрема Аксіома віконується того, что в даній реализации НЕ віконується Аксіома 4.1, оскількі будь-які три вектори лінійно залежні.
Аналогічно доводитися незалежність аксіомі 4.2.
. Доведення незалежності аксіомі 1 від аксіом Вейля простору ТЕ3.
Треба довести несуперечлівість системи аксіом
{1.1 - 1.4,2.1 - 2.4, 3.1 - 3.5, 4.1 - 4.2,, 5.2} (2)
де - заперечення аксіомі 1.
Вікорістаємо Арифметичний реалізацію, побудовану для доведення несуперечлівості системи аксіом Вейля простору, но внесемо Такі Зміни:
.Точкою назвемо матрицею увазі де довільні дійсна числа. При цьом точки i збігаються тоді и только тоді, коли,
.належність упорядкованіх пар точок i вектор візначається умів У відозміненій у такий способ інтерпретації будут Виконувати всі аксіомі Вейля, крім аксіомі 1. Аксіома 1 цієї статті не віконується того, что визначення належності впорядкованої парі точок и вектора числа и не фігурують, смороду могут вібіратісь довільно.
.Доведення незалежності аксіомі 2.
Для доведення належності аксіомі 2 в аріфметічній інтерпретації п. 5.3.1 умову належності упорядкованої парі точок и вектора сформулюємо так:
Тоді в такій інтерпретації всі аксіомі Вейля віконуються, крім аксіомі 2, у чому легко переконатіся.
Аналогічно можна пересвідчітіся у незалежності других аксіом Вейля. [18, c.140].
евклідовій геометрія Аксіома Лобачевського
2.3 повнотіла системи аксіом Вейля
Як вже позначають, для доведення повнотіла системи аксіом ...
