020001, ..., 108 · 1,0001?, ... Перші числа, надруковані червоною фарбою, називаються червоними, другі надруковані чорною фарбою і називаються чорними. Червоні числа є логарифмами чорних, розділених на 108, при підставі. Множник 108 введений для того, щоб по можливості довго уникати дробів. Так як таблиці розташовані по червоним числам, то вони являють собою таблиці антилогарифмів (термін, введений в цьому сенсі Валлісом, 1693). Тому для множення і ділення чорних чисел найчастіше потрібна інтерполяція. Обчислені чорні числа з дев'ятьма вірними цифрами.
Червоні числа слідують з інтервалом в десять, за одним винятком. Таблиця чорних чисел починається з 108, і Бюрги закінчує її чорним числом 108, для якого за допомогою інтерполяції обчислює «повне червоне число» 230270,022. Це число застосовується при діленні a/b, коли а lt; b, подібно до того як в десяткових логарифмах додається ціла характеристика, щоб уникнути негативної мантиси. Саме, замість a/b Бюрги в цьому випадку знаходить він складає червоні числа відповідні а і 108, віднімає від суми червоне число, відповідне b, і за результатом знаходить чорне число з дев'ятьма десятковими знаками, що дає дріб a/b. Якщо а gt; b, Бюрги віднімає з червоного числа для a червоне число для b і знаходить чорне число, відповідне результату; отримане число дає вісім десяткових знаків дробу a/b.
Таблиці Бюрги не набули значного поширення. Вони не могли конкурувати з таблицями Непера, більш зручними і до того ж до 1620 року вже широко відомими.
п.2 Визначення логарифма Непера
До відкриття логарифмів Непер прийшов не пізніше 1594, але лише двадцять років потому опублікував своє «Опис дивовижної таблиці логарифмів» 1614, що містив визначення неперово логарифмів, їх властивості та таблиці логарифмів синусів і косинусів від 0 до 90 ° з інтервалом в 1 ', а також різниці цих логарифмів, що дають логарифми тангенсів. Теоретичні висновки і пояснення способу обчислення таблиці він виклав у іншій праці, підготовленому, ймовірно, до «Опису», але виданому посмертно, в «Побудові дивовижною таблиці логарифмів», 1619г. В обох творах Непер розглядає і деякі питання тригонометрії. Особливо відомі зручні для логарифмування «аналогії», т. Е. Пропорції Непера, що застосовуються при вирішенні сферичних трикутників по двох сторонах і куту між ними, а також по двох кутах і прилеглої до них стороні.
На відміну від Бюрги, порівняти дві дискретні прогресії, Непер з самого початку вводив поняття логарифма для всіх значень безупинно мінливих тригонометричних величин - синуса і косинуса. При тодішньому стані математики, коли ще не було аналітичного апарату обчислення нескінченно малих, природним і єдиним засобом для цього було кінематичне визначення логарифма. Бути може, тут не залишилися без впливу і традиції, сходили до оксфордской школі XIV в. Вихідні визначення з «Опису»:
«Опp. 1. Кажуть, що лінія зростає рівномірно, коли описує її точка проходить в рівні моменти рівні проміжки.
Опр.2. Кажуть, що лінія скорочується пропорційно, коли пробігаюча по ній точка в рівні моменти відсікає відрізки, що зберігають постійно одне і те ж ставлення до тих лініях, від яких вони відсікаються
Опр.3. Кажуть, що кількості ірраціональні, або невимовні числом, визначаються числами з найбільшим наближенням, коли вони визначаються великими числами, що відрізняються від істинних значень ірраціональних кількостей менше, ніж на одиницю.
Опр.4. Синхронними рухами називаються ті, які відбуваються разом і протягом одного і того ж часу.
Опр.5 і постулат. Так як існують рухи як більш повільні, так і більш швидкі, ніж будь-яке дане рух, то звідси необхідно випливає, що існує рух одно швидке всякому даному (яке визначається як рух ні більш повільне, ні більш швидке, ніж дане).
Опр.6.Логаріфмом всякого синуса називається, нарешті, число, що визначає з найбільшим наближенням лінію, зростаючу рівномірно, між тим як лінія повного синуса убуває пропорційно до величини даного синуса, причому обидва рухи синхронні і спочатку одно швидкі ».
Тут в геометричному вираженні висловлені багато чудові ідеї. Відзначимо тільки своєрідну формулювання ідеї про безперервність в третьому визначенні і звернемося до основного, шостому визначенню логарифма.
Якщо зобразити повний синус, т. е. радіус кола, у Непера дорівнює 10 7, відрізком АВ, а лінію синуса - відрізком YB=у, то логарифмом у (позначимо його Lу) буде відрізок ОХ= х, прохідний точкою X, починаючої рух з О з постійною швидкістю v 0, за той самий час, в яке точка Y, одночасно виходить з А з тією ж початковою швидкістю v 0, проходить відрізок AY зі швидкістю, пропорційною відстані, що залишається до іншого кінця В, т. е. пропорційною YB. Мо...
