цесі їх зміни, треба було самі залежності між величинами зробити самостійним об'єктом вивчення. Тому на перший план висувається поняття функції, відіграватиме надалі таку ж роль основного і самостійного предмета вивчення, як раніше поняття величини або числа.
Вивчення змінних величин і функціональних залежностей призводить до далі до основних понять математичного аналізу, що вводить в математику в явному вигляді ідею нескінченного, до понять межі, похідної, диференціала і інтеграла. Створюється аналіз нескінченно малих, в першу чергу у вигляді диференціального й інтегрального числення, що дозволяє пов'язувати кінцеві зміни змінних величин з їх поведінкою в безпосередній близькості окремих прийнятих або значень. Основні закони механіки і фізики записуються у формі диференціальних рівнянь, і завдання інтегрування цих рівнянь висувається в якості однієї з найважливіших задач математики. Розвідку невідомих функцій, визначених умовами іншого роду (умовами мінімуму або максимуму деяких пов'язаних з ними величин), становить предмет варіаційного числення.
Таким чином, разом із рівняннями, в яких невідомими є числа, з'являються рівняння, в яких невідомі і підлягають визначенню функції.
§2 Логарифми як засіб обчислень
Перші ідеї логарифмічного обчислення в їх грубейшей формі виникли із зіставлення членів геометричної прогресії з арифметичною прогресією їх порядкових номерів або ж чисел, їм пропорційних.
Сліди такого зіставлення сходять до старовини і досить ясно виражені в одному місці Архимедова «Псамміта». Це невеликий арифметичний трактат. Майже сто років тому" Псамміт" був переведений на російську мову Ф. Петрушевским (в 1824 г.). Але ця книга являє бібліографічну рідкість, а мова перекладу, загалом досить точного, занадто важкий і архаїчний.
І в своєму «Псамміт» Архімед виражається так:" Якщо буде дано ряд чисел в безперервній пропорції (т. е., за нашою термінологією, що знаходяться в геометричній прогресії), починаючи від одиниці, і якщо два члена його перемножити, то твір буде членом того - ж ряду, настільки віддаленим від більшого множника, на - скільки менший віддалений від одиниці; він же буде віддалений від одиниці одним членом менше проти того, наскільки віддалені від нас обидва множники разом" .
При сучасних позначеннях сенс цього місця можна передати так: якщо з геометричною прогресією 1,?, ?? ,? ?, ... Зіставити арифметичну прогресію порядкових номерів її членів 1, 2, 3, 4, ..., то добуток двох членів першої а? і а? буде членом тієї ж прогресії, порядковий номер якого дорівнює сумі порядкових номерів множників без одиниці, т. е. m + n - 1.
Це, хоча і просте, але важливе зауваження Архімеда не залишилося непоміченим і повторюється майже в усіх значних творах XV і XVI століть з тим лише поліпшенням пізнішого походження, що за порядкові номери членів геометричній прогресії приймаються числа 0 , 1, 2, 3, ... або їм пропорційні. Так, у французького математика Chuquet в його творі 1484 LeTripаrty сnlascicncecles Nombres" ми знаходимо, у вигляді прикладів, зіставлення прогресій 0, 1, 2, 3, ... або 0, 1, 2, 3, .... 1, 2, 4, 8, ... 1, 3, 9, 27, ... з цілком ясною вказівкою на те, що добутку двох членів геометричній прогресії відповідає в арифметичній прогресії член, рівний сумі тих, які відповідають множників.
Схожі зауваження, які були у Архімеда зустрічаються і в інших авторів.
п.1 Визначення логарифма Бюрги
Швейцарець Іост Бюрги (1552-1632) був висококваліфікованим механіком і годинникових справ майстром, математику він вивчив самостійно. Він складався придворним годинникарем, а також майстром астрономічних інструментів спочатку в Касселі, потім з 1603 року в Празі, де зблизився з Кеплером. Ми не знаємо, коли в точності Бюрги приступив до створення своїх таблиць, але, ймовірно, вони були готові близько 1610 Бюрги довго зволікав з їх виданням, і вони вийшли в світ вже після двох праць Непера; за цю затримку Кеплер згодом засуджував свого друга. Книга Бюрги озаглавлена ??«Таблиці арифметичної і геометричної прогресій, разом з ґрунтовним настановою, як їх потрібно розуміти і з користю застосовувати у всіляких обчисленнях»
Бюрги - про це він писав сам - виходив з міркувань про відповідність між множенням в геометричній прогресії і складанням в арифметичній, які він почерпнув, правда, не у Штіфеля (так як не знав латині), а в інших авторів, які писали по-Німецька. Завдання полягало у виборі прогресії зі знаменником, досить близьким до одиниці з тим щоб її члени слідували один за одним з інтервалами, досить малими для практичних обчислень. Бюрги взяв знаменник 1,0001 і зіставив числа 0, 10, 20, ..., 10n, ... арифметичній прогресії з членами геометричної 10000000, 100010000, 100...
