вою диференціального обчислення
.
Як видно, Непером логарифм числа у не є, як іноді пишуть у підручниках аналізу, натуральний логарифм цієї кількості: Ly виражається через ln у лінійно. Багато властивостей логарифмів Непера тому дещо відрізняються від властивостей логарифмів в нашому розумінні слова. Головне, звичайно, у них спільне: якщо чотири числа утворюють геометричну пропорцію1: y2=y3: y4 то їх логарифми складають арифметичну пропорцію1 Ly2=Ly3 Ly4, тобто геометричній прогресії чисел відповідає арифметична прогресія логарифмів. Однак, оскільки=107 ln 107, т. Е. L1 не дорівнює нулю, правила дій ускладнюються: так, наприклад,
(ab)=La + LbL1, L=La Lb + L1
і т. п. У прикладах Непера, правда, L1 випадає, але лише тому, що в них обчислюються четверта і середня пропорційні, наприклад:
=L (ab) - Lc + L1=La + Lb - Lc.
Нулю дорівнює Непером логарифм числа 107, т. е. повного синуса або радіусу. Цього і домагався Непер, що мав на увазі насамперед тригонометричні обчислення. Оскільки тригонометричні величини розглядалися ще не у ставленні до радіусу, а як відрізки, виражені в тих же одиницях, що повний синус, останній входив до формули і на нього часто доводилося множити і ділити. Рівність нулю логарифма повного синуса представляло в таких умовах певні переваги. У міру зменшення натуральних значень синуса Непером логарифм зростає, а при синусі, рівному нулю, звертається в нескінченність. У таблиці Непера в рядку, в якій у графі синуса позначений 0, у графі логарифма синуса стоїть слово Infinitum- «нескінченність».
Зрозуміло, Непер не записував і не інтегрував наведене вище диференціальне рівняння, яке виражає кінематичне визначення логарифма. Але фактично його прийом складання таблиць рівносильний наближеному чисельному рішенню диференціального ура?? нения. Спочатку знаходиться вельми малий відрізок, прохідний точкою X, коли точка Y переміщається з початкового положення А на відстань 1, т. Е. Обчислюється L9999999. Спираючись на уявлення про миттєвої швидкості і порівнюючи швидкості точок X іY, ??Непер виводить, що
7-y lt; Ly lt; 107/y (107- y)
і для y=9999999 приймає як логарифма середнє арифметичне чисел 1 і 107/9999999=1,00000010000001 ..., так що L9999999=1,00000005 (з точністю до чотирнадцятого знака). Тут, як і всюди, Непер користується десятковими дробами. Далі для арифметичній прогресії логарифмів
хn=1,00000005n він знаходить відповідну геометричну прогресію чисел
уп=107 (1-1/107) n,
де п=1, 2, 3, ..., 100.
Це неважко, оскільки тут потрібні тільки віднімання; уk=уk - 1 0,0000001yk - 1
Так виходить, при підходящих заокругленнях, L9999900.
Відношення числа 9999900 до 107 є 1-1/105, і Непер переходить до обчислення логарифмів уп=107 (1-1/105) n, до n=50, причому логарифму у1 відомий. Аналогічно застосовуються прогресії 107 (1-1/2 · 103)? і в особливо великому обсязі 107 (1-1/102) ?. Числа уп округлюються, і за допомогою оцінки різниці логарифмів близьких чисел, заснованої на наведеному вище нерівність, обчислюються їх логарифми. Так Непер доходить до L5000000.
Термін «логарифм» (logarithmus) належить Ненеру, він виник з поєднання грецьких слів - відношення і число, яке означало «число відносини» що нагадує про подвійні, потрійних, полуторних та інших цілих або дробових відносинах стародавньої та середньовічної математики. Спочатку Непер користувався іншим терміном: numeriartificiales- «штучні числа» - на противагу numerinaturales- «числам природним».
§3 Інтегральні методи 17 століття
Під інтегральним обчисленням розуміють розділ математичного аналізу, який вивчає інтеграли функцій та їх застосування.
Елементи інтегрального числення можна знайти в працях Архімеда (287 р. до н.е.. - 212 р. до н.е..): у творі «Про вимір довжини кола» розглядається питання про визначення площі та довжини окружності кола, а в трактаті «Про кулі і циліндрі» - про поверхнях і обсягах деяких тіл. Для вирішення цих завдань Архімед використовував метод вичерпання Евдокса Кнідського (бл. 408 р. До н.е.. - Бл. 355 р. До н.е..).
Таким чином, інтегральне числення виник з потреби створення загального методу знаходження площ, обсягів і центрів тяжкості.
Систематичний розвиток ці методи отримують в XVII столітті в роботах Б. Кавальєрі Б (1598-1647), Е. Торрічеллі (1608-1647), П. Ферма (1601-1665), Б. Паскаля (1623-1662) та інших вчених. Але їх вишукування в основному мали розрізнений і утилітарний характер - вирішувалися конкретні самостійні завдання. У 1659 році І. Барроу (1630-1677) встановив взаємозв'язок між завданням про знаходження площі та завданням про знаходження дотичній.
Основи класичного інтегра...
