мінімум - у всі часи привертали увагу вчених. Із спроб вирішити ту чи іншу екстремальну задачу виникали і розвивалися нові теорії, а іноді й цілі напрямки математики.
Максимуми і мінімуми постійно виникають в інженерних розрахунках, в архітектурі, економіці і т.д. Крім того, екстремальні задачі найнесподіванішим чином знаходять застосування в науках про природу: фізиці, хімії, біології. Давно вже було відмічено, що навколишній світ багато в чому влаштований з екстремальних законам. Леонард Ейлер (1707-1783), один з найвидатніших математиків, говорив: «У світі не відбувається нічого, в чому б не був видний сенс якого-небудь максимуму або мінімуму». З екстремальними задачами людина починає знайомитися в середній школі. Ось, мабуть, найвідоміша з них: на площині дана пряма l і точки A і B по одну сторону від неї. Знайти на прямій точку M, для якої сума AM + BM найменша.
Для вирішення відобразимо точку B відносно прямої l, отримаємо точку B?.
Малюнок 1
Відрізок BM переходить при симетрії у відрізок B? M, отже, AM + BM=AM + B? M. Згідно нерівності трикутника, сума AM + B? M приймає найменше значення, коли точка M лежить на відрізку AB ?. Таким чином, M - точка перетину прямої l з відрізком AB ?; для цієї точки сума AM + BM дорівнює довжині відрізка AB ?, при іншому виборі точки M ця сума буде більше AB?.
З її допомогою можна пояснити закон відбиття світла «кут падіння дорівнює куту відбиття», оскільки в однорідному середовищі світло поширюється по найкоротшому шляху. Крім того, ця проста задача лежить в основі так званих фокальних властивостей конічних перетинів - еліпса, гіперболи і параболи.
Вважається, що вперше завдання про найкоротший шлях між двома точками із заходом на пряму, або завдання про відображення світла, була вирішена давньогрецьким математиком Героном Олександрійським (I століття н. е.) у трактаті «Про дзеркалах». Тому її іноді називають завданням Герона. Її можна інтерпретувати і як суто практичну: де на прямій дорозі потрібно поставити автобусну зупинку, щоб сумарний шлях до неї від сіл A і B був найменшим?
. 3 Методи розв'язування задач на екстремум
Різні і різноманітні прийоми і методи вирішення завдань на екстремуми, як аналітичні (перебору, оцінки, нерівностей та ін.) так і геометричні (перетворення площини, оцінка, перебір). Кожен метод по - своєму унікальний і неповторний. Ці прийоми можна віднести до елементарних, тому вони не припускають застосування математичного аналізу, а обмежуються алгебраїчним або геометричним підходом до вирішення завдання на екстремум. Кожен їх таких елементарних прийомів є містком до вирішення не великого класу задач на екстремум. Крім того, застосування цих методів для ряду завдань буде більш раціонально, ніж використання інструментів математичного аналізу.
Розглянемо основні методи розв'язання задач на екстремуми та їх застосування при вирішенні конкретних завдань.
Загальний прийом вирішення завдань на екстремум спирається на теорему Ферма: Якщо функція y=f (x) (яка має похідну) при х ~ х0 приймає локальний максимум або мінімум, то похідна від цієї функції при х=х0 звертається до 0.
Малюнок 2
Геометрично це означає, що дотична до графіка функції у відповідній точці його паралельна осі ОХ.
Теорема Ферма дуже наочна. І все ж доведемо її.
Нехай х0 - точка максимуму функції у=f (x), тобто при х=х0 ця функція приймає найбільше значення. Дамо х0 досить мале позитивне прирощення h. Нове значення аргументу х0 + h буде досить близьким до х0, і так як при х=х0 дана функція має максимум, то (xo + h) - f (х0) 0. Тому, а значить.
Якщо ж дати х0 негативне прирощення (досить мале за абсолютною величиною), то отримаємо: f (х0 + h) - f (х0) 0 і, а значить, 0.
Виявилося, що одне і те ж число f '(x) НЕ позитивно і неотрицательно. Це означає, що це число дорівнює 0, тобто f (х0)=0. Міркування у разі мінімуму аналогічні.
Рішення задач на екстремуми за допомогою основного методу.
Щоб проілюструвати розглянутий загальний прийом вирішення завдань на екстремуми, візьмемо приклад задачі про прямокутнику найбільшої площі.
Малюнок 3
З шматка, скла, що має зазначені малюнку форму і розміри, потрібно вирізати прямокутну пластину найбільшої площі.
Площа пластини S=??ху. За незалежне змінне приймемо
х (0 х 100). Тоді з подібності трикутників ABE і CDE слід: або, звідки у=х + 80. Тому S=х2 + 80х. Досліджуємо цю функцію на екстремум. S ...
