опіфанной екстремальної задачі). Історія зберегла легенду про наступну найстародавнішої екстремальну задачу, відомої як завдання Дідони. Фінікійська царівна Дідона (IX століття до н.е.) вирішила організувати поселення на березі симпатичного їй затоки в Північній Африці. Вона вмовила вождя місцевого племені віддати їй клаптик землі, який можна охопити воловій шкірою. Воїни Дідони розрізали шкуру на тонкі смужки, і Дідона охопила ременем, складеним з цих смужок, ділянка землі на березі затоки. Так виник місто Карфаген. Завдання Дідони полягає в вказівці форми межі ділянки, що має задану довжину, при якій площа ділянки максимальна. Якщо знати екстремальне властивість кола, то рішення виходить негайно: межа ділянки представляє частину окружності, що має задану довжину. Екстремальними задачами займалися багато античні вчені (Евклід, Архімед, Аристотель та ін.). Відома наступна задача Евкліда (IV століття до н.е.): в заданий трикутник ABC вписати паралелограм ADEF найбільшої площі. Неважко довести, що рішенням цього завдання є паралелограм, вершини D, E, F якого ділять відповідні сторони трикутника навпіл.
Після загибелі античної цивілізації наукове життя в Європі стала відроджуватися тільки в XV столітті. Завдання на екстремуми опинилися серед тих, якими цікавилися кращі уми того часу. Якщо в античні часи завдання на екстремуми досліджувалися тільки геометричними методами і кожна задача для свого рішення вимагала специфічного прийому, то в XVII столітті з'явилися загальні методи вивчення задач на екстремуми, які призвели до створення диференціального й інтегрального числень. Перші елементи математичного аналізу були створені І. Кеплером (1615), який так описує появу свого відкриття: Мені як доброму господарю слід було запастися вином. Я купив його кілька діжок. Через деякий час прийшов продавець - виміряти місткість діжок, щоб призначити ціну на вино. Для цього він опускав у кожен бочонок залізний прут і, не вдаючись ні до якого обчисленню, негайно оголошував, скільки в бочці вина raquo ;. Після роздумів Кеплер відкрив секрет такого простого способу вимірювання об'єму бочок. Виявилося, що бондарі за довгу історію навчилися виготовляти бочки такої форми, при якій вони мали найбільший обсяг при заданій довжині мокрій частини прута. А оскільки в околиці максимуму значення функції змінюються мало (в цьому суть відкриття І. Кеплера), то торговець вина майже не помилявся при оголошенні обсягу бочки по одному вимірюванню.
Відкрите І. Кеплером основна властивість екстремумів було потім оформлено у вигляді теореми спочатку П. Ферма (для многочленів), потім І. Ньютоном і Г.В. Лейбніцем для довільних функцій і носить тепер назву теореми Ферма, згідно з якою в точці екстремуму x0 неперервної функції f (x) похідна функції дорівнює нулю:
З тих пір дослідження функцій за допомогою аналізу нескінченно малих величин стало одним з найпотужніших математичних методів і призвело до створення сучасного математичного аналізу.
. 2 Поняття завдання на екстремум
Екстремум (лат. extremum - крайній) в математиці - максимальне або мінімальне значення функції на заданій множині. Точка, в якій досягається екстремум, називається точкою екстремуму. Відповідно, якщо досягається мінімум - точка екстремуму називається точкою мінімуму, а якщо максимум - точкою максимуму.
Функція y=f (x) називається зростаючою (спадною) в деякому інтервалі, якщо при x1 lt; x2 виконується нерівність (f (x1) lt; f (x2) (f (x1) gt; f (x2)).
Точка x0 називається точкою локального максимуму (мінімуму) функції f (x), якщо існує околиця точки x0, для всіх точок якої вірно нерівність f (x) f (x0) (f (x)? f (x0)).
Точки максимуму і мінімуму називаються точками екстремуму, а значення функції в цих точках - її екстремумами.
Необхідні умови екстремуму. Якщо точка x0 є точкою екстремуму функції f (x), то або f '(x0)=0, або f (x0) не існує. Такі точки називають критичними, причому сама функція в критичній точці визначена. Екстремуми функції слід шукати серед її критичних точок.
Перше достатня умова. Нехай x0 - критична точка. Якщо f '(x) при переході через точку x0 змінює знак плюс на мінус, то в точці x0 функція має максимум, в іншому випадку - мінімум. Якщо при переході через критичну точку похідна не змінює знак, то в точці x0 екстремуму немає.
Друге достатня умова. Нехай функція f (x) має похідну f (x) в околі точки x0 і другу похідну в самій точці x0. Якщо f (x0)=0,
f (x0) gt; 0, то точка x0 є точкою локального мінімуму (максимуму) функції f (x). Якщо ж f (x0)=0, то потрібно або користуватися першим достатньою умовою, або залучати вищі похідні.
Екстремальні завдання - завдання на максимум і ...
