а, яка виходить з попередньої, якщо до всіх її точкам застосувати перетворення за формулою:
рисунок 2
Тут в якості підстави логарифмів береться так зване неперово число e=2,71828., а Arg z вимірюється не в градусах, а в радіанах.
Без сумніву, формула ця виглядає складною і штучною. Карта, що вийшла в результаті такого перетворення, була побудована близько 400 років тому голландським ученим Меркатором. Вона отримала з тих пір велике поширення в навігації. Її переваги перед картою, виконаної в стенографічною проекції, полягають у тому, що тут не тільки меридіани, але й паралелі зображаються прямими лініями; більше того, прямими лініями тут зображуються також будь-які шляхи на поверхні Землі, уздовж яких стрілка компаса зберігає незмінне напрямок.
Найбільш важливі застосування конформних відображень ставляться до питань фізики і механіки. У багатьох питаннях, де мова йде, наприклад, про електричному потенціалі в точках простору, оточуючих заряджений конденсатор, або про температуру навколо нагрітого тіла, про швидкостях частинок в рідині або газі, в потоці, що рухається в деякому каналі і обтічні при цьому будь-які перешкоди і т.п. Такі завдання можуть бути дозволені без великих труднощів у випадку, коли зустрічаються в них тіла мають особливо просту форму (наприклад, у вигляді плоских пластин або кругових циліндрів) .Однак розрахунок потрібно виробляти і в багатьох інших випадках. Наприклад, щоб розрахувати літак при його конструюванні, потрібно вміти підраховувати швидкості частинок повітря в потоці, обтічні крило літака.
Крило літака в поперечному розрізі (профіль крила) має вигляд, представлений на черт.3, а. Тим часом розрахунок швидкостей здійснюється досить просто, коли поперечний розріз обтічного крила є коло, т.е.само тіло їсти цілий циліндр (рис 3, б).
Для того, щоб звести задачу про швидкостях частинок потоку повітря, оточуючого крило з?? молёта, до більш простої задачі обтікання круглого циліндра, досить конформно відобразити фігуру, заштрихованную на черт.3, а (зовнішність профілю крила) на заштрихованную фігуру черт.3, б (зовнішність кола) .Таке відображення здійснюється за допомогою деякої функції комплексного змінного.
Чорт. 3
Подібним же чином конформне відображення дозволяє зводити рішення задач про розрахунок електричного потенціалу і температур від випадку тел довільної форми (будь-якого профілю перетину) до найпростіших випадку, де завдання вже є вирішеною.
Все сказане вище про застосування конформного відображення до питань картографії, механіки і фізики не супроводжувалося ніякими доказами. Розглянемо найпростіші раціональні функції, за допомогою яких можна виконати деякі конформні відображення. Ось функції, про які піде мова:
дробово-лінійна функція
Остання з них носить ім'я знаменитого російського вченого Миколи Єгоровича Жуковського (1847-1921) .Таке назву дано, бо Н.Є. Жуковський успішно застосовував її до рішення деяких питань теорії літака. Зокрема, він показав, як за допомогою цієї функції можна отримувати деякі профілі крила літака, що мають і теоретичне і практичне значення.
дробово-лінійна функція.
a, b - нерівні між собою комплексні числа. Покажемо, що за допомогою цієї функції кожна дуга PLQ окружності, що з'єднує точки a і b, перетворюється в деякий прямолінійний промінь PL, виходить з початку координат, причому кут між позитивним напрямом дійсної осі і цим лучем дорівнює куту між напрямком baN і дотичної до дузі кола в точці a. (черт.4)
Черт.4
Нехай точка z лежить на дузі PLQ (черт.4 ліворуч); доведемо, що її образ, т.е.соответствующая їй точка, повинен лежати на промені PL (рис. 4 праворуч) .Щоб побудувати вектор z, потрібно знати довжину цього вектора і кут нахилу до позитивної частини дійсної осі (Arg z) .Но z є приватне комплексних чисел za і zb, зображуваних векторами PR і QR.Поетому,, а Arg z дорівнює куту SPR (вектор PS має таку ж довжину і напрямок, як і QR), що відлічує в напрямок від PS до PR. Очевидно, що) і, отже, вимірюється половиною дуги QMP. Половиною цієї ж дуги вимірюється і кут NPT. Тому,. Отже, при будь-якому положенні точок z на дузі PLQ відповідні точки мають один і той же аргумент .. А це означає, що всі ці точки лежать на одному і тому ж промені PL, нахиленому до позитивної частини дійсної осі під кутом .. Цей висновок справедливий і в тому випадку, коли PLQ-ні дуга кола, а прямолінійний відрізок PQ. Тоді потрібно вважати кут=180 градусів і промінь PL збігається з негативною частиною дійсної осі. (Черт.5)
черт.5
