звідки,. Таким чином, подинтегральная функція подана в вигляді:
ледовательно:
Відповідь:
. Обчислити інтеграл:
У цьому випадку многочлен, тому
Отже, існують многочлени другого ступеня
Для яких вірно рівність:
Раціональну дріб зручно відразу представити у вигляді суми елементарних дробів і переписати формулу Остроградського:
Прирівнюючи коефіцієнти при однакових ступенях x, отримуємо систему:
Вирішуючи цю систему, знаходимо,,,,,
Відповідь:
2. Інтегрування биноминальную диференціалів
Відповідно до властивості невизначеного інтеграла, підінтегральний вираз є диференціалом первообразной подинтегральной функції. Якщо подинтегральная функція раціональна, то підінтегральний вираз іноді називають раціональним диференціалом, а якщо вона ірраціональна, то - ірраціональним диференціалом.
Т.е. при диференційний біном буде раціональним диференціалом, а якщо хоча б один з показників ступеня не є цілим числом, то диференціал буде ірраціональним.
біноміальними диференціалом називається вираз:
,
де,, і - раціональні числа, - постійні, відмінні від нуля.
Як було доведено академіком Чебишевим П.Л. (1821-1894), інтеграл від біномного диференціала може бути виражений через елементарні функції тільки в наступних трьох випадках:
1. Якщо Р - ціле число, то інтеграл раціоналізується за допомогою підстановки
, де - найменше спільне кратне знаменників дробів і;
.Если - ціле число, то підстановка, де - найменше спільне кратне знаменників дробів і
.- Ціле число, то підстановка, де - знаменник дробу.
Розглянемо докладніше деякі випадки, коли подинтегральная раціональна функція містить біном (двочлен) виду
.Если ця функція є многочленом щодо змінного, то інтеграл від такої функції по буде лінійною комбінацією інтегралів. Кожен з таких інтегралів може бути знайдений шляхом розкладання за формулою бінома Ньютона.
В окремому випадку поведінкою під знак диференціала множника знайдемо:
Якщо показник ступеня можна представити у вигляді, то доцільно спочатку застосувати інтегрування частинами, позначивши
Використовуючи цей приклад після послідовних інтегрування частинами, ми прийдемо до інтегралу, обчислюваному за допомогою формули виду.
Відзначимо, що залишається в силі при і, а при і. В окремому випадку, коли біном лінійний і
, причому доданок в сумі при (це доданок присутній при) слід замінити на вираз:
2.Якщо, і, то, позначивши і, з урахуванням () можна написати:
3.Якщо підінтегральний вираз включає твір двох лінійних биномом, то заміною змінного це вираз можна привести до вже розглянутого увазі
4.Рассмотрім подинтегральную функцію деяких значень. При і непарному підінтегральний вираз підстановкою, який містить лінійний біном. У разі парного - інтегруванням по частинам:
Слід послідовно понизити ступінь під знаком інтеграла до нуля і потім скористатися узагальненням рекуррентного співвідношення
При інтегруванні функції виду найпростіше використовувати її розкладання на найпростіші раціональні дроби.
У разі можна піти таким шляхом. Підінтегральний вираз перетворимо при до вигляду:
Далі інтегруванням по частинам:
Послідовно знизимо до одиниці ступінь бінома в знаменнику підінтегральної функції, а потім також інтегруванням по частинам за формулами:
прийдемо до одного з наступних невизначених інтегралів:
де. Аналогічний прийом можна використовувати і у випадку інших значень.
.1 Тригонометричні і гіперболічні підстановки
У цьому розділі ми розглянемо обчислення інтегралів виду, де R - раціональна функція x і квадратного кореня.
Попередньо перетворимо квадратичну функцію під знаком кореня, виділивши в ній повний квадрат:
Виконавши заміну, ми отримаємо один з наступних 3 інтегралів залежно від значень коефіцієнтів a, b і с:
Кожен з цих трьох інтегралів обчислюється за допомогою спеціальних тригонометричних або гіперболічних підстановок.
Тригонометрична підстановка:
Тригонометрична підстановка:
Гіперболічна підстановка:
Тригонометрична підстановка:
...
