br />
При кожному діленні ступінь залишку буде знижуватися принаймні на одиницю, тому на певному етапі ми отримаємо нульовий залишок, т.е.
Останній відмінний від нуля залишок є найбільшим загальним дільником многочленів і.
Досить довести два твердження:
) Багаточлени і діляться на, т. е. один з дільників і;
) Многочлен ділиться на будь дільник многочленів і, тобто найбільший спільний дільник зазначених многочленів.
Для доказу першого твердження зауважимо, що в силу, а тоді, в силу, ділиться на.
Піднімаючись вгору по ланцюжку рівностей ми доведемо, що і діляться на.
Доведемо друге твердження.
Нехай - довільний дільник многочленів і. В силу рівності ділиться на, а тоді, в силу рівності (2), ділиться на. Опускаючись по ланцюжку рівностей (1) - (k), доведемо, що x ділиться на.
Отже, метод Остроградського виділення раціональної частини інтеграла від правильної дробу не пов'язаний безпосередньо з операцією інтегрування і полягає в поєднанні знаходження НСД знаменника цього дробу і його похідною з методом невизначених коефіцієнтів. Але методом Остроградського зручно знаходити і трансцендентну частина цього інтеграла, оскільки при цьому доводиться інтегрувати більш просту правильну дріб, знаменник якого має лише прості нулі. Тому інтегрування можна звести в підсумку до знаходження інтегралів від найпростіших дробів тільки першого і третього типів.
Коментар:
НСД - найбільший спільний дільник
Алгоритм методу невизначених коефіцієнтів:
. Розкладаємо знаменник на множники.
. Розкладаємо дріб представляємо у вигляді суми найпростіших дробів з невизначеними коефіцієнтами.
· Якщо в знаменнику щось на зразок:, кількість лінійних множників ролі не грає, то дріб представиться у вигляді суми найпростіших дробів першого типу:
· Якщо в знаменнику щось на зразок:, кількість множників ролі не грає і не грають ролі ступеня цих множників (хоч двісті двадцять першому ступінь), то дріб представиться у вигляді суми найпростіших дробів першого і другого типів:
a, b, c - числа, - невизначені коефіцієнти. Яка ступінь - стільки й доданків.
· Якщо в знаменнику щось на зразок: кількість квадратичних виразів ролі не грає, то дріб представиться у вигляді суми найпростіших дробів третього типу:
, q, r і s - числа, P, Q, R і S - невизначені коефіцієнти.
· Якщо в знаменнику щось на зразок:, кількість множників ролі не грає і не іграBBBют ролі ступеня цих множників, то дріб представиться у вигляді суми найпростіших дробів третього і четвертого типів:
p, q, r і s - числа, - невизначені коефіцієнти.
· Якщо зібрати все:, то дріб представиться у вигляді суми найпростіших дробів всіх чотирьох типів:
. Наводимо отриману суму найпростіших дробів з невизначеними коефіцієнтами до спільного знаменника і групуємо в чисельнику доданки при однакових степенях х.
. Прирівнюємо коефіцієнти при однакових степенях х. При цьому отримуємо систему лінійних алгебраїчних рівнянь з невизначеними коефіцієнтами в якості невідомих:
. Вирішуємо отриману систему рівнянь будь-яким способом (при необхідності дивіться статтю рішення систем лінійних алгебраїчних рівнянь, методи рішення, приклади), який подобається Вам, знаходимо невизначені коефіцієнти.
. 2 Приклади
Покажемо на прикладах роботу за методом Остроградського:
. Обчислити інтеграл:
Розкладемо правильну раціональну алгебраїчну дріб на суму найпростіших дробів:
Отже,
Останній інтеграл обчислимо застосовуючи метод Остроградського:
Диференціюючи і приводимо до спільного знаменника:
Отримуємо:
1. Обчислити інтеграл:
Підінтегральна функція - неправильна раціональна дріб. Розділивши многочлен на многочлен, отримаємо приватне і залишок Отже, дана раціональний дріб представляється у вигляді суми многочлена і правильної раціональної дробу наступним чином:
Многочлен має дійсний корінь Розділивши на, одержимо
тричлен не має дійсних коренів, тому розкладання отриманої правильної раціональної дробу на елементарні має вигляд:
З рівності дробів треба рівність многочленів:
Поклавши тут, отримаємо,. Прирівнявши коефіцієнти при і вільні члени многочленів, отримаємо:
...
