=(а) - замкнуто щодо · :
х=аn, y=al, n, e Z, x, y Н, xy=anal=an + l H, тому n + l Z;
) e=1=a0 H, A: x H xa0=a0x=x;
) x=a H, x - 1=an Н: ana-n=a-nan=a0=1.
З 1) - 3) за визначенням Н маємо lt; (а), · gt;- Підгрупа мультиплікативної групи А.
Визначення 3. Нехай lt; А, · gt;- Деяка мультиплікативна група і
а? е, а А.
Порядком елемента а називається найменше натуральне число n таке, що аn=е.
Приклад. Знайти порядки елементів а=- 1, b=i, c=- i мультиплікативної групи А={1;- 1; i;- I}
1: (- 1) 1=- 1, (- 1) 2=1=e. Отже,
n=2 - порядок елемента - 1.
i: (i) 1=i, (i) 2=- 1, (i) 4=1=e. Отже,
n=4 - порядок елемента i.
i: (-i) 1=- i, (-i) 2=- 1, (-i) 4=1=e. Отже,
n=4 порядок елемента - i.
Теорема 2. Нехай lt; А, · gt;- Група, а А, а? е, а - елемент n-го порядку, тоді:
) Підгрупа (а) групи А має вигляд: (а)={а0=е, а, а2, ..., аn - 1} -
n - елементний безліч невід'ємних ступенів елемента а;
) Будь ціла ступінь елемента аk, k Z, належить множині (а) і
ak=e lt;= gt; k=nq, n N, q Z.
Доказ. Покажемо, що всі елементи (а) різні. Припустимо гидке: ak=al, k gt; l, тоді ak-l=e. k - l lt; n, що суперечить визначенню порядку елемента (а). У безлічі (а) всі елементи різні.
Покажемо, що аk, К Z, належить множині (а).
Нехай k=n, k: n, ak=anq + r=ak? anq + r=(an) q? ar=eq? ar=e? ar=ar,
? r? n? 1= gt; ak (a). Якщо r=0, то k=nq lt;= gt; ak=e.
Визначення 4. Підгрупа lt; (а), · gt ;, де (а)={а0=е, а, а2, ..., аn - 1}, групи А, а - елемент n-го порядку, називається циклічної підгрупою групи А (мультиплікативної циклічної підгрупою групи А).
Визначення 5. Група, що збігається зі своєю підгрупою lt; А, · gt ;, lt; (а), · gt ;, мультиплікативної циклічної підгрупою, називається циклічної групою .
Теорема 3. Всяка мультиплікативна циклічна група є абельовой.
Доказ. А=(а), а? е, а - утворюючий елемент групи
ak, al A, ak? al=al? ak. Дійсно, ak? al=ak + l=al + k=al? ak, l, k Z.
§ 4. Адитивні циклічні підгрупи і групи
Визначення 1. Нехай lt; A, + gt;- Адитивна група, Н - підмножина А,
Н?.
lt; Н, + gt; називається підгрупою адитивної групи А, якщо виконуються наступні умови:
) Н замкнуто щодо + raquo ;: a, b H, a + b H;
) Існує еН=ЕА - нульовий елемент щодо операції додавання
) а Н існує протилежний - а Н.
Приклад 1.
lt; Q, + gt ;, де Q - безліч раціональних чисел, є групою раціональних чисел. Z Q, Z?.
lt; Z, + gt;- Підгрупа групи Q. Перевіримо виконання умов адитивної підгрупи:
) Z замкнуто щодо + raquo ;: a, b Z, a + b Z;
) Існує Еz=ЕQ=0 - нульовий елемент щодо операції додавання;
) а Z існує протилежний - а Z.
Визначення 2. Якщо Н=А і Н={е}, то підгрупа lt; H, + gt; називається невласною підгрупою групи А.
Якщо Н А, то підгрупа lt; H, + gt; називається власної підгрупою групи А.
Приклад 2.
Н1=Q - невласна підгрупа групи Q,
Н2={0} - невласна (нульова) підгрупа групи Q,
Н3=Z - власна підгрупа групи Q.
Нехай lt; A, + gt;- Адитивна група.
Через (а) позначимо множину всіх кратних елементів а А, а? е:
(а)={x=na: a Z}.
Справедлива
Теорема 1. lt; (a), + gt ;, де (а)={x=na: a Z}, є підгрупою групи А.
Доказ.
Перевіримо виконання умов адитивної підгрупи:
) (а) замкнуто щодо + :
х, у (а) х + у? (а).
Дійсно, нехай x=na, y=la, n, l Z.
x + y=na + la=(n + l) a (a), n + l Z.
2) Існує е (а)=ЕА=0? а=0;
) х (а) існує протилежний - х (а), x=na - x=- (na)=(-n) a (a).
З 1) - 3)= gt; за визначенням lt; (a), + gt;- Підгрупа групи А.
Визначення 3. Нехай А - адитивна група, lt; A, + gt ;, а А, а? е. Порядком елемента а називається найменше натуральне число n, таке що na=e, е - нульовий елемент.
Визначення 4. Підгрупа lt; (a), + gt; групи lt; A, + gt ;, а - елемент n-го порядку, виду (а)={0а, 1а, ..., (n - 1) а} називається адитивної циклічної підгрупою групи А, породженої елементом а.
Визначення 5. Група lt; A, + gt ;, співпадаюча зі своєю циклічної підгрупою lt; A, + gt; = Lt; (a), + gt ;, називається циклічної групою . Елемент а називається утворюючим елементом групи.
Теорема 2. Всяка адитивна циклічна підгрупа абелева....
