Доказ.
lt; A, + gt; = Lt; (a), + gt ;, (a)={na: n Z}.
na, ka (a) справедливо рівність na + ka=ka + na. Дійсно,
na + ka=(n + k) a=(k + n) a=ka + na.
§ 5. Теорема Лагранжа і наслідки з неї
Теорема Лагранжа. Нехай lt; А, · gt;- Кінцева мультиплікативна група порядку n. Н - деяка її підгрупа порядку k. Індекс підгрупи Н в групі А і її порядок є дільниками порядку групи. Інакше кажучи, справедливо рівність: n=k? l, l=A: H, l - індекс підгрупи.
Доказ.
Запишемо лівосторонній розкладання групи А по підгрупі Н.
А=Н а1Н ... ае - 1Н,
| A |=| H | + | а1Н | + ... + | ае - 1Н |,
| A |=n, | H |=k, n=k + k + ... + k=k? l.
l раз
Слідство 1. Порядок елемента а, а? е, lt; А, · gt; = Lt; (а), · gt; n-го порядку, є дільником порядку групи.
Наслідок 2. Всяка циклічна група lt; А, · gt; = Lt; (а), · gt; простого порядку n=p має тільки дві невласні підгрупи:
Н1={e} - одинична підгрупа,
H2=A - сама група.
Слідство 3. Всі циклічні підгрупи циклічної групи
lt; А, · gt; = Lt; (а), · gt; n-го порядку мають вигляд:
Hi={a0=e, ad, a2d, ..., a (k - 1) d}, i=1, 2, ...,
де d - будь-який натуральний дільник порядку групи n=k? d,
k - порядок підгрупи.
Слідство 4. Всі циклічні підгрупи адитивної циклічної групи lt; Zn, + gt; n-го порядку мають вигляд:
Нi={0, d, 2d, ..., (k - 1) d}, i=1, 2, ...,
де d - будь-який натуральний дільник порядку групи n=k? d, k - порядок підгрупи.
Практична частина.
1. lt; Z, - gt;- Група? Якщо так, то чи є вона комутативної (абельовой)?
Рішення.
1) Бінарна операція - НЕ асоціативна: a, b c Z
( a - b) - c? a - (b - c)= gt; lt; Z, - gt; не є групою,
lt; Z, - gt;- Не група.
2. А - безліч цілих чисел, кратних будь натуральному числу n щодо складання.
Рішення.
А=nZ={x: x=nk, k Z, n N, n - фіксоване натуральне число}.
lt; A, + gt;- Група?
Рішення.
1) Перевіримо, чи є + бінарної операцією на безлічі А.
Нехай x=nk, y=nl, k, l Z x, y A. + y=nk + nl=n (k + l) A, k + l Z =? + - Бінарна операція на безлічі А.
Перевіримо, чи є + асоціативної операцією на безлічі А.
x, y, z, z=np, p Z,
(x + y) + z=x + (y + z). Дійсно,
(nl + nk) + np=nk + (nl + np),
n (l + k) + np=nk + n (l + p) - це рівність виконується, тому + цілих чисел - асоціативність= gt; + асоціативність на А.
2) Чи існує нейтральний елемент відносно + raquo ;?
х А чи виконуються рівності х + е=е + х=х?
Розглянемо рівність х + е=х
nk + e=nk, e=0=n0 A.
е - існує відносно + .
) Чи існує х` А щодо операції + ?
х + х `= х` + х=е?
Розглянемо рівність х + х `= е.
х`=е - nk=n0 - nk=n (0 - k)=n (-k), - k Z= gt; х` A x A
З 1) - 3), за визначенням групи,= gt; дана система є групою, адитивної групою.
4) Перевіримо, чи є група комутативної.
х, у А чи виконується рівність х + у=у + х?
nk + nl=nl + nk
n (k + l)=n (l + k) - виконується, оскільки + - Комутативність на Z.
З 1) - 4)= gt; алгебраїчна система lt; A, + gt;- Комутативна адитивна група.
3. lt; Q, · gt;- Група?
Q={x: x=m/n, m Z, n N}.
Рішення.
1) Перевіримо, чи є множення бінарної операцією на Q.
y=k/l, k Z, l N.
xy=m/n * k/l=mk/nl Q= gt; · - Бінарна операція на Q.
Перевіримо, чи є · асоціативної операцією на Q.
z=p/q, p Z, q N, x, y, z Q: x · (y · z)=(x · y) · z?
Перевірка: x · (y · z)=m/k · (k/l · p/q)=m/n · kp/lq=m/n · (kp/lq)= · асоціативна на Z, N (mk) p/(nl) q=mk/nl · p/q=(m/n · k/l) · p/q=(x · y) · z.
· асоціативність на Q= gt; 1) умова групи виконується.
2) Чи існує нейтральний елемент відносно · на Q?
x · e=e · x=x? x Q, x · e=x, e=1 Q
3) Чи існує х 'щодо операції · на Q?
x Q, х · х =Х · Х=е? х · х =Е=1, х · х =1, х '= 1/x, x? 0= gt; не виконується, елемент х=0 не має зворотного.
lt; Q, · gt;- Не ...
