математик Р. Беллмана стверджував, що значення рівнянь зазначеного виду у фізиці важко переоцінити. Існує багато досліджень, пов'язаних з даними рівнянням. З математичної точки зору воно являє собою постійний виклик мистецтву аналітика: треба отримувати всілякі властивості рішень цього рівняння, не користуючись такою розкішшю, як явне представлення останніх через коефіцієнти р і q.
Через різноманіття можливих випадків і випливає звідси труднощі об'єднання їх у загальній теорії ми обмежимося розглядом деяких приватних прикладів, які, крім того що представляють економіко-математичний інтерес, ілюструють застосування розроблених основних методів до дослідження завдань економічної динаміки.
2. Приклад 1
При реалізації планованих інвестиційних проектів (Формула (5)) з урахуванням розподілених запізнювань (взаємозв'язок капіталу, рішень про інвестиції і фактичних капіталовкладень) використовується функція П†1 (t, П„) = be (П„-t), де b> 0 є деяка постійна часу. З економічної точки зору такий вибір ядра інтегрального перетворення (5) означає, що ваговий коефіцієнт рішення про інвестування в момент часу П„ (0 <П„
Даний підхід відображає реальну поведінку інвесторів, коли приймаються рішення про інвестування.
Оскільки
П†1 (t, П„) = Оѕ1 (t) О·1 (П„),
то для визначеності виберемо
Оѕ1 (t) = е-и
О·1 (П„) = bеи.
Далі, після елементарних перетворень вираз (12) трансформується до вигляду диференціального рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами:
(14)
Коефіцієнти рівняння (14) є строго позитивні числа, тому що 0 <О± <1, отже, рішення X (t) будуть стійкими.
Структура рішень (14) має наступний вигляд:
X (t) = (15)
де
О»1, 2 =
R1, R2 - довільні постійні, залежні від початкових умов.
Таким чином, всі рішення X (t) диференційного рівняння (14) експоненціально прагнуть від заданої початкової умови Х0 до рівноважного значення Х = 0 (К = А). При цьому характер руху X (t) до рівноваги за умови b = є монотонним, а при протилежному знаку нерівності - коливальним гармонійним з частотою
П‰ =.
Тут доречно нагадати, що різницеве ​​ядро ​​φ1 (t, П„) = beb (П„-t) -Так звана "пам'ять про вжиті інвестиційних рішеннях", по суті, є динамічним регулятором інвестиційного процесу, і цілком правомірна постановка задачі про вибір оптимального значення параметра b відповідно до вимогами до якості перехідного процесу накопичення капіталу.
Встановлена ​​залежність реалізованих інвестиційних (у динаміці) рішень відіграє істотну роль для моделювання наслідків поведінки інвестора, що не завжди враховується в інвестиційному процесі на макрорівні.
Приклад 2
Розглянемо ситуацію, коли реалізуються інвестиційні проекти з урахуванням рівної значимості на тимчасовому інтервалі П„ [0, t] всіх інвестиційних рішень, що найбільш часто моделюється в ході прийняття стратегічних рішень. У такому випадку ядро ​​прийме вигляд
П†2 (t, П„) = 1/t,
тобто
Оѕ2 (t, r) = 1/t, О·2 (П„) = 1.
Після необхідних перетворень диференціальне рівняння (12) прийме форму звичайного диференціального рівняння другого порядку із змінними параметрами
(16)
Поведінкові властивості диференціального рівняння (16) принципово відрізняються від властивостей (14), оскільки мають змінні коефіцієнти, які звертаються в нескінченність в нулі. Для рівнянь типу (16) використовуються асимптотичні методи, що описують рішення, коли параметри, від яких вони залежать, прагнуть до нескінченності.
У даному випадку для рівняння (16) є рішення:
X (t) = (17)
Тут циліндрична функція (t) є лінійна комбінація спеціальних функцій Бесселя першого Ja (t) і другого Ya (t) пологів; С1, С2 - довільні постійні, залежні від початкових умов. Для функцій Бесселя існують асимптотичні представлення при великих значеннях аргументу t В»1. Тоді рішення (17) можна наближено виразити через елементарні функції:
X (t) ≈ (18)
Цілком очевидно, що у виразі (18) мають місце коливання із змінною амплітудою і частотою. Представляє інтерес приватний випадок рішення (18) при О± = 1/2:
X (t) == + (19)
Як бачимо, рішення Х (t) в (19) є обмеженою, але вагається з необмежено зростаючим періодом, що саме по собі є факт, далекий від тривіальності при дослідженні в динаміці капіталу низькочастотних (Повільних) коливань з позицій теорій економічних циклів. p> Проаналізувавши два приклади з первинного варіанту моделі, запропонованого М. Калецкий ще в докейнсіанській період, тут ми не маємо наміру р...
