о споживання) і G - задані величини. Дохід визначається взаємодією капіталовкладень і статистичного мультиплікатора без запізнень, тобто плановані витрати повністю збігаються в часі з реальними інвестиціями:
(2)
Величина I (t) є не що інше, як фактичні чисті витрати на капіталовкладення; як правило, вона має грошовий вираз.
Ключовий змінної з позиції капіталовкладень є величина B (t), що визначає програму інвестування в момент часу t. М. Калецкий висловлює припущення, що відповідно до рішень про інвестування (по суті, з формуванням портфеля замовлень на капітальне обладнання) через планований інтервал часу Q реалізуються поставки і виробляються фінансові розрахунки протягом періоду виробництва і введення в експлуатацію необхідного обладнання.
Позначимо через K (t) величину основного капіталу в момент часу t і припустимо, що швидкість поставок нового обладнання є похідної за часом величини капіталу, тобто складе dK/dt. Теза про те, що капіталовкладення запізнюються, приводить до наступних рівнянням зв'язку:
I (t) = (3)
(4)
Рівняння (3) і (4) відображають важливу ідею М. Калецького про істотних відмінностях між плановими інвестиційними проектами B (t) і фактично реалізованими інвестиціями I (t). Зауважимо, що в рівняннях (3) і (4) присутня величина єдиного фіксованого значення тимчасового запізнювання Q, та це, на наш погляд, вельми спрощує механізми планування та реалізації інвестиційних програм.
Ми пропонуємо, на відміну від М. Калецького, розглянути взаємозв'язку між капіталом K, рішеннями про інвестиції В і фактичними капіталовкладеннями I з використанням розподілених запізнювань. Формули (3) і (4) отримають наступний вигляд:
I (t) = (5)
K (t) = K0 + (6)
де К0-значення величини капіталу в момент часу t = 0; П† (t, П„) - ядро ​​інтегрального перетворення (5), що має сенс "Економічної пам'яті" про всі минулі значеннях планованих інвестицій на інтервалі часу П„ [1, t]; П€ (t, П„) - ядро ​​інтегрального перетворення (6), що інтерпретується як реакція капіталу на миттєвий стрибок реальних інвестицій.
Часто в економічній теорії, нехтуючи амортизацією капіталу, вважають П€ (t, П„) = 1. У такому випадку рівняння (6) рівносильно з початковою умовою K (t = 0) = К0 диференціального рівняння
(7)
Далі розглядаються передумови, на підставі яких формується структура планових інвестицій B (t). Тут ми солідарні з М. Калецкий і Р. Алленом і стверджуємо, що
B = aS-ОІK + Оµ, (8)
де S = (1-c) Y-заощадження, що впливають на В у прямому напрямку; О±, ОІ-позитивні константи; Оµ-доданок, відбиває автономну тенденцію планування інвестицій.
Не порушуючи єдності, покладемо Оµ = const. Крім того, відзначимо, що позитивність коефіцієнта ОІ характеризує у формулі (8) негативну кореляцію між величинами В і К. При цьому ОІ має розмірність, зворотний одиниці часу, а є безрозмірною величиною.
Використовуючи формулу (2), виключимо з (8) залежність від рівня доходу Y:
В = а1-ОІк + Оµ. (9)
Таким чином, рівняння (5), (7), (9) визначають функціональну взаємозв'язок між змінними K (t), B (t), I (t). У даному випадку найбільш просто вивести інтегро-диференціальне рівняння для динаміки капіталу:
(10)
Інтегро-диференціальне рівняння (10) разом з початковою умовою К (t = 0) = К0 цілком описує еволюцію капіталу в даній економічній системі. Складність дослідження поведінкових властивостей рівняння (10) багато в чому визначається явним виглядом ядра - функції П† (t, П„). p> Розглянемо випадок, коли воно є виродженим, то є
П† (t, П„) = Оѕ (t) О· (П„).
При такій структурі функції П† (t, П„) базове інтегро-диференціальне рівняння (10) шляхом диференціювання за часом за допомогою нескладних перетворень отримує вид звичайного диференціального рівняння другого порядку. Для простоти приймемо, що G - постійне число, тоді величина А = також є постійною.
Доцільно ввести в розгляд змінну x (t) = K (t) - А, що має сенс відхилення величини капіталу від якогось характерного постійного значення А. У такій ситуації рівняння (10) прийме таку форму:
= dП„ (11)
Віддиференціювати (11) з незалежної змінної t і виконавши необхідні тотожні перетворення, отримаємо шукане звичайне диференціальне рівняння другого порядку за змінної X (t):
(12)
де
ПЃ (t) =
q (t) = ОІОѕ (t) О· (t)
з ненульовими початковими умовами;
X (0) = K0 - A, (13)
Диференціальне рівняння (12) займає особливе місце в загальної теорії звичайних диференціальних рівнянь, і зовсім неможливо дати вичерпний огляд властивостей рішення цього рівняння.
З приводу диференціального рівняння (12) відомий американський ...
