ьої енергії кристалічної решітки потрібно знайти середню енергію гармонійного осцилятора:
- енергія квантового гармонічного осцилятора (3.3).
Якщо врахувати квантову природу гармонійного осцилятора, то для тіла, яке складається з N атомів можна записати його внутрішню енергію, де на кожну ступінь Володі атома буде доводиться енергія рівна середній енергії квантового осцилятора: p> (3.4)
Найбільш простою моделлю для аналізу температурної залежності теплопровідності є модель газу фононів (МГФ). МГФ оперує з такими поняттями, як середня довжина вільного пробігу фонона ph , ефективний час релаксації = ph /v s , зворотною величиною якого, 1 /, є середня частота зіткнень фононів. Величина теплопровідності в моделі фононного газу дорівнює:
lat = 1/3 ph v s C v = 1/3 v s 2 C v , (3.5)
де С v питома теплоємність, пов'язана з коливаннями решітки. Величини З v , або ph визначають температурну залежність решеточной теплопровідності. Залежність від Т виявилася більш складною. Розглянемо два випадки. p> а) Т>> D . Отже, довжина вільного пробігу фонона обернено пропорційна температурі. Це узгоджується з експериментом. Зазвичай, lat ~ 1/T x , де х = 1-2.
Точна теорія lat (Т) повинна враховувати конкуренцію між процесами. б) Т << D .
У цьому випадку фонони будуть мати енергію s ( k ) k B T < B D = D , тобто s << D і k < D . Можна вважати, що як до, так і після розсіяння, енергія як окремого фонона, так і сумарна енергія залишаються << D , хвильової вектор < D . Отже, якщо в початковий момент система фононів мала деякий результуючий імпульс, то цей імпульс буде зберігатися навіть у відсутність градієнта температури, тобто для досконалого нескінченного ангармонічного кристала при низьких температурах теплопровідність нескінченна, точніше вона може бути кінцевою тільки лише за рахунок невеликої ймовірності процесів перекидання, що порушують закон збереження квазіімпульса, і які зменшують тепловий потік.
При досягненні температури, де починаються зростання часу релаксації і, відповідно, довжини вільного пробігу фононів, теплопровідність решітки зростає (підтверджується експериментально). При подальшому зниженні Т, довжина вільного пробігу стає порівнянної з середньою довжиною вільного пробігу, що характеризує розсіювання фононів на дефектах решітки, домішках або навіть на торцях кінцевого зразка. Для діелектриків при дуже низьких температурах, Т max , теплопровідність ~ T 3 , потім T max <Т < D ~ exp (T 0 /T), далі темп зменшення спадає і замінюється повільним спадання ~ 1/T через збільшення числа розсіюючих фононів.
ГЛАВА 4. ЕЛЕКТРОННА ТЕПЛОПРОВІДНІСТЬ. <В
У металах значну роль у процесі теплопровідності грає електронна теплопровідність. Вона також існує і в напівпровідниках, особливо легованих електронодонорними елементами. За величиною електронна теплопровідність і фононний теплопровідності в металах будуть рівні:
З ел /С ф В»0.01, V зв В» 5 В· 10 3 м/с, V т В»10 6 м/с,
l ф В»10 -9 м, l ел В»10 -8 м,
До ф /К ел В»0.05. p> У чистих металах електронна теплопровідність більше за фононну в 20 разів. У сплавах фононний та електронна теплопровідності приблизно рівні. Наприклад, берилій Ве з низькою електропровідністю володіє теплопровідністю в 5 разів більшою, ніж у сталі. Ве входить до складу теплопровідних паст і підкладок для потужних підсилювачів і генераторів.
У результаті взаємодії фононів між собою і з електронами розсіюється енергія. Ця взаємодія інтерпретується як тепловий опір R T :
(4.1)
де L і S - довжина і площа зразка або фрагмента конструкції.
Розрахунок теплового опору складної деталі проводиться за правилами, аналогічним законам Ома.
Коефіцієнт тепло провідності для електронного газу в металех має значення:
До ел = С ел l ел V т , (4.2)
де С ел - теплоємність електронного газу, l ел - довжина вільного пробігу електрона, V т - теплова швидкість:
, де m е - маса електрона.
Особливу складність при використанні формули (4.2) являє обчислення величини довжини вільного пробігу електрона, оскільки це величина статистична і залежить від руху інших електронів в металі. p> Е...
