ножнікі двочлені.
1) а +9 = (А +3 ОЇ) (а-3ОЇ);
2) 16m ВІ +25 n ВІ = (4m +5 nОЇ) (4m-5nОЇ);
3) 49 +36 = (7 +6 ОЇ) (7-6ОЇ);
4) а +16 = (Г–а +4 ОЇ) (Г–а-4ОЇ);
5) у +7 = (Г–в + Г–7ОЇ) (Г–в-Г–7ОЇ). p> г) Ділення комплексних чисел.
Ділення комплексних чисел означаються як дію, Обернений до Дії множення, коли за данім добутком и одним з множніків знаходять другий, Невідомий множнік. Причому в множіні комплексних чисел залішається Вимога, щоб дільнік БУВ відміннім від нуля.
Означення. Частко комплексних чисел z в‚Ѓ = A + bОЇ та z в‚‚ = C + dОЇ назівеється таке комплексне число z в‚ѓ = x + yОЇ, Яке при множенні на z в‚‚ Дає z в‚Ѓ.
Можлівість ділення комплексних чисел и его однозначність потребує доведення.
Доведемо, что Частка комплексних чисел z в‚Ѓ = A + bОЇ та z в‚‚ = C + dОЇ Визначи и до того ж однозначно, ЯКЩО c + dОЇ в‰ 0 +0 ОЇ. Отже, доведемо, что за умови існує, и до того ж єдине, комплексне число z в‚ѓ = x + yОЇ, Яке при множенні на z в‚‚ Дає z в‚Ѓ. За зазначену Дії ділення, (c + dОЇ) (x + yОЇ) = a + bОЇ. Виконано в лівій частіні цієї рівності дію множення, дістанемо: (cx - dy) + (cy + dx) ОЇ = a + bОЇ.
Зх умови рівності двох комплексних чисел віпліває:
c x - dy = a
cy + d x = b
Система має єдиний розв'язок:
x = (A c + bd) (c ВІ + d ВІ);
y = (Bc-ad) (c ВІ + d ВІ). br/>
Із доведення віпліває, что ділення ккомплексніх чисел відбувається за таким правилом:
(a + BОЇ) ( c + dОЇ) = (A c + bd) (c ВІ + d ВІ) + (bc-ad) ОЇ ( c ВІ + d ВІ).
цею результат можна дістаті, помножити ділене и дільнік на число, відмінюванні до дільніка. Покажемо це:
(a + BОЇ) ( c + dОЇ) = (A + bОЇ) ( c - dОЇ) ( c + dОЇ) ( c - dОЇ) = ((A c + bd) + (bc-ad) ОЇ ) (C ВІ + d ВІ) = (ac + bd) (c ВІ + d ВІ) + ((bc-ad) ОЇ) ( c ВІ + d ВІ).
ЦІМ принципом корістуються во время розв'язування вправо на ділення комплексних чисел.
Приклади. Знайте частко комплексних чисел.
а) (2 +5 ОЇ)/(3-2ОЇ) = (2 +5 ОЇ) (3 +2 ОЇ)/(3-2ОЇ) (3 +2 ОЇ) = (-4 +19 ОЉ)/13 = -4/13 +19 ОЇ/13;
б) (3 + ОЇ)/ОЇ = (3 + ОЇ) (-ОЇ)/ОЇ = 1-3ОЇ;
д) піднесення комплексних чисел до степеня.
За зазначену, ОЇ В№ = ОЇ, ОЇ ВІ = - 1.
користуючися рівністю ОЇ ВІ = - 1, візначеко кілька послідовніх ступенів уявної одініці:
ОЇ Ві = ОЉ ВІ ОЇ = - 1ОЇ =-ОЇ; ОЇ = ОЇ Ві ОЇ = -ОЉОЇ = 1; ОЇ = ОЇОЇ = ОЇ; ОЇ = ОЇОЇ = -1; ОЇ = ОЇОЇ =-ОЇ; ОЇ =-ОЇОЇ = 1.
Оскількі ОЇ = 1, то Значення степенів періодічно повторюються Із збільшенням сертифіката № на 4. Так, ОЇ ВІ = ОЇ = -1, ОЇ Ві = ОЇ =-ОЇ, ОЇ = ОЇ = 1і так далі.
Означення. Щоб піднесті число до степеня з натуральним Показники n, треба Показник сепень поділіті на 4 и піднесті до степеня, Показник Якого дорівнює остачі від ділення. p> Приклади. Піднесті до степеня:
а) ОЇ = ОЇ = ОЉ = ОЇОЇ =-ОЇ;
б) ОЇ = ОЇ = ОЇ = ОЇ ВІ = -1;
в) ОЇ = ОЇ = ОЇ =-ОЇ.
Правила піднесення до степеня уявної одініці застосовується при піднесенні до степеня комплексних чисел.
Приклади. Піднесті до степеня двочлені:
1) (2 +5 ОЇ) ВІ = 4 +20 ОЇ +25 ОЇ ВІ = -21 +20 ОЇ;
2) (3 +2) Ві = 27 +54 ОЇ +36 ОЇ ВІ +8 = -9 +36 ОЇ;
3) (1 + ОЇ) ВІ = 1 +2 ОЇ + ОЇ ВІ = 2ОЇ;
4) (1-ОЇ) ВІ = 1-2ОЇ + ОЇ ВІ =-2ОЇ;
5) (1-ОЇ) = (1-2ОЇ + ОЇ) ВІ = (-2ОЇ) ВІ = 4ОЇ ВІ = -4;
6) (1 + ОЇ) = ((1 + ОЇ) ВІ) Ві = (2ОЇ) Ві = 8ОЇ Ві = -8 ОЇ;
7) (1-ОЇ) = ((1-ОЇ) ВІ) = (-2ОЇ) =-32ОЇ =-32ОЇ. p> Рівності (1 + ОЇ) ВІ = 1 +2 ОЇ + ОЇ ВІ = 2ОЇ, (1-ОЇ) ВІ = 1-2ОЇ + ОЇ ВІ =-2ОЇ корисностей запам'ятати, бо їх часто Використовують.
3. Геометрична Інтерпретація комплексних чисел
Вивчаючи комплексні числа, можна використовуват геометричність термінологію и геометричні міркування, яякщо Встановити взаємно однозначних відповідність между множини комплексних чисел и множини точок коордінатної площини. Цю відповідність можна Встановити так. Кожному комплексному числу a + bОЇ поставімо у відповідність точку М (a; b) коордінатної площини, тоб точку, абсцис Якої дорівнює дійсній частіні комплексного числа, а ордината - коефіцієнту уявно Частини. Кожній точці М (a; b) коордінатної площини поставімо у відповідність комплексне число (Малюнок 1).
Малюнок 1
В
Очевидно, что така відповідність є взаємно однозначною. Вона Дає можлівість інтерпретуваті комплексні числа як точки деякої площини, на якій вібрано систему координат. Координатно площинах назівають при цьом комплексною, Вісь абсцис - дійсною віссю, бо на ній розміщені точки, что відповідають комплексним числам a + 0ОЇ, тоб відповідають дійснім числах. Вісь ординат назівають уявно віссю - На ній лежати точки, Які відповідають уявним комплексним числам 0 + bОЇ. p> ЗРУЧНИЙ є такоже інтерпрітація комплексного...
