числа як вектора ОМ (Дивіться Малюнок 2)
Малюнок 2
В
Поставімо у відповідність шкірному комплексному числу вектор з качаном у точці О (0, 0) i кінцем у точці М (a; b). Ві добре там, что такий вектор назівають Радіус - вектором, а его проекції на осі є координатами вектора. Отже, можна Сказати, что геометричність збережений комплексного числа z = a + bОЇ є Радіус - вектор з координатами a и b. Відповідність между множини комплексних чисел, з одного боці, и множини точок або векторів площини, з Іншого, Дає змогу комплексні числа назіваті векторами аьо точками и Говорити, Наприклад, про вектор a + bОЇ або про точку a + bОЇ.
На малюнку 2 Вектори ОА, OB, OC, OD є відповіднімі геометричність збережений комплексних чисел z в‚Ѓ = 2 +2 ОЇ; z в‚‚ = -3 +4 ОЇ; z в‚ѓ =-4-3ОЇ; z в‚„ = 4-2ОЇ. p> протилежних комплексності числах відповідають протілежні векторами.
Малюнок 3
В
На малюнку 3 зображено Дві парі протилежних векторів OA i OC, OB i OD, что відповідають парам протилежних чисел 3 +4 ОЇ та-3-4ОЇ; -2 +3 ОЇ та 2-3ОЇ.
геометричність зображення суми и різніці двох комплексних чисел.
Зх геометрічної інтерпретації комплексних чисел у вігляді векторів віпліває можлівість геометричного зображення додавання комплексних чисел. Воно находится до знаходження сум двох векторів за відомим правилом паралелограма.
Нехай дано два комплексних числа z в‚Ѓ = A в‚Ѓ + B в‚Ѓ ОЇ та z в‚‚ = A в‚‚ + B в‚‚ ОЇ, Яким відповідають Радіус - Вектор ОА и ОА (Малюнок 4). Побудуємо на ціх векторах як на сторонах паралелограм. Тоді збережений суми комплексних чисел z в‚Ѓ и z в‚‚ буде вектор ОВ (Діагональ паралелограма) справді, при додаванні векторів їх відповідні координат та додаються. Тому, ЯКЩО вектор ОА в‚Ѓ має координати (a в‚Ѓ; b в‚Ѓ), а вектор ОА в‚‚ (а в‚‚; b в‚‚), то їх сума - вектор ОВ - Матіко координат (а в‚Ѓ + а в‚‚; b в‚Ѓ + b в‚‚). Вектор ОВ відповідає комплексному числу (а в‚Ѓ + а в‚‚) + (b в‚Ѓ + b в‚‚), Яке є сумою чисел z в‚Ѓ и z в‚‚.
В
Малюнок 4
В
Нехай, Наприклад, треба найти геометричність зображення різніці z в‚Ѓ - z в‚‚ комплексних чисел z в‚Ѓ = 2 +3 ОЇ та z в‚‚ = -3 +2 ОЉ. Будуємо вектор ОА, что є збережений числа z в‚Ѓ, и додаємо до нього вектор ОВ, Який зображує число z в‚‚ = -3 +2 ОЇ, протилежних від'ємніку (Малюнок 5). Шуканов різніцю зображують вектором ОС, что є сумою векторів ОА и ОВ. Йому відповідає комплексне число 5 + ОЇ. br/>
Малюнок 5
В
p> 4. Трігонометрічна форма запису комплексних чисел
Запис числа z у вігляді a + bОЇ назівається алгебраїчною формою запису комплексного числа. Крім алгебраїчної форми Використовують ї Другие формі запису комплексних чисел - трігонометрічна и показникових. Розглянемо трігонометрічну форму запису, а для цього введемо Поняття про модуль и аргумент комплексного числа.
а) Модуль комплексного числа.
В
Побудуємо Радіус - вектор ОА, что є геометричність чином комплексного числа z = a + bОЇ (Малюнок 6). p> Модулем комплексного числа z = a + bОЇ назівається Значення Г–a ВІ + b ВІ. Число r = Г– a ВІ + b ВІ перетворюється на нуль Тільки за умів a = 0, b = 0. p> Модуль комплексного числа a + bОЇ позначається символом a + bОЇ. Отже, a + bОЇ = Г– a ВІ + b ВІ. p> Если комплексні числа мают один и тієї самий модуль, то кінці векторів, Які зображують ці числа, лежати на колі з центром у качану координат и радіусом, что дорівнює їх модулю.
Приклади: Знайте Модулі даніх комплексних чисел.
1) 5 +7 ОЇ = Г–25 +49 = Г–74;
2)-2-3ОЇ = Г–4 +9 = Г–13;
3) 8 +0 ОЇ = Г–64 = 8;
4) 5ОЇ = 5.
Б) аргумент комплесного числа.
Нехай Радіус - вектор ОА зображує комплексне число z = a + bОЇ (Дивіться Малюнок 6). Позначімо О± кут, Який утворює вектор ОА з додатним безпосередньо осі х. Числове значення кута О±, віміряного в радіанах, назівається аргументом комплексного числа a + BОЇ. Если комплексне число дорівнює нулю, то вектор ОА перетворюється в точку (нуль - вектор), и Говорити про его Напрям немає Сенсі. Тому вважають, что число нуль НЕ має аргументу. Кожне відмінне від нуля комплексне число має нескінченну множини значень аргументу, Які відрізняються один від одного на ціле число ПОВНЕ обертів, тоб на величину 2ПЂn, де n - Довільне ціле число. Значення аргументу, взяте в межах Першого кола, тоб від 0 до 2ПЂ, назівається Головня. Головне значення аргументу комплексного числа можна візначіті з рівності tg О± = b/a. Справді, за знаками aib можна Встановити, в якій четверті містіться кут О±, и за величиною tg О±, вікорістовуючі табліці, знайте величину кута О±.
Приклади: Знайте головне значення аргументу даніх комплексних чисел.
1) z = 1 + ОЇ;
Маємо: tg О± = 1. Оскількі a = 1 та b = 1, Радіус - вектор, Який відповідає даним комплексного числу, захи І чверті и того О± - гострий кут. Отже...
