за класичною ймовірнісної схемою, тобто припустимо, що всі ці результати рівноймовірні.
Серед всіх N = C фіналів нам слід порахувати ті, в яких немає пікової дами (подія А). Відкладемо даму пік в бік, і з залишилися 35 карт будемо вибирати 3 карти. Вийдуть усі цікаві для нас варіанти. Значить, N (A) = C.
Залишилось обчислити потрібну ймовірність за класичним визначенням:
Р (А) === * =
Відповідь:
А чому дорівнює ймовірність того, що серед вибраних трьох карт є пікова дама? Число всіх таких фіналів неважко порахувати, треба просто з усіх фіналів N відняти всі ті наслідки, в яких дами пік ні, тобто відняти знайдене в прикладі 3 число N (A). Потім цю різницю N-N (A) відповідно з класичною ймовірнісної схемою слід поділити на N. Ось що отримаємо:
В
Ми бачимо, що між ймовірностями двох подій є певний зв'язок. Якщо подія А полягає у відсутності дами пік, а подія В полягає в її наявності серед обраних трьох карт, то
Р (В) = 1-Р (А),
Р (А) + Р (В) = 1.
На жаль, у рівності Р (А) + Р (В) = 1 немає ніякої інформації про зв'язок подій А і В між собою; цю зв'язок нам доводиться тримати в голові. Зручніше було б заздалегідь дати події У назву і позначення, явно вказують на його зв'язок з А.
Визначення 1 . Подія В називають протилежним події А і позначають В = ДЂ, якщо подія В відбувається тоді і тільки тоді, коли не відбувається подія А.
Т еорема 1 . Для знаходження ймовірності протилежної події випливає з одиниці відняти ймовірність самої події: Р (ДЂ) = 1-Р (А). Справді,
Р (ДЂ) ==
На практиці обчислюють те, що простіше знайти: або Р (А), або Р (ДЂ). Після цього користуються формулою із теореми і знаходять, відповідно, або Р (ДЂ) = 1-Р (А), або Р (А) = 1-Р (ДЂ). p> Часто використовується спосіб вирішення тієї чи іншої задачі В«перебором випадківВ», коли умови задачі розбиваються на взаємовиключні один одного випадки, кожен з яких розглядається окремо. Наприклад, В«направо підеш-коня втратиш, прямо підеш-завдання з теорії ймовірності вирішувати будеш, наліво підеш-... В». Або при побудові графіка функції у = в”‚ х +1 в”‚ - в”‚ 2х-5 в”‚ расматриваться випадки х <-1; -1 ≤ х <2,5; 2,5 ≤ х. У кожному з трьох випадків В«РозкриваютьВ» модуль, будують потрібні графіки лінійних функцій і потім об'єднують відповідні частини цих графіків; фактично мова йде про побудову графіка кусочной функції. Цей же метод часто використовують і при підрахунку ймовірностей. p> Приклад 3 . З 50 точок 17 зафарбовані в синій колір, а 13-в помаранчевий колір. Знайти ймовірність того, що випадковим чином вибрана точка виявиться зафарбованої.
Рішення . Всього закрашено 30 точок з 50. Значить, ймовірність дорівнює = 0,6. p> Відповідь: 0,6.
Розглянемо, однак, цей простий приклад більш уважно. Нехай подія А полягає в тому, що обрана точка-синя, а подія В полягає в тому, що обрана точка-оранжева. За умові, події А і В не можуть відбутися одночасно.
Позначимо літерою С цікавить нас подія. Подія С настає тоді і тільки тоді, коли відбувається хоча б одна з подій А або В . Ясно, що N (C) = N (A) + N (B). p> Поділимо обидві частини цього рівності на N-число всіх можливих результатів даного досвіду; отримаємо
Р (С) ==
Ми на простому прикладі розібрали важливу і часто зустрічається ситуацію. Для неї є спеціальне назву.
Визначення 2 . Події А і В називають неспільними , якщо вони не можуть відбуватися одночасно.
Теорема 2 . Імовірність настання хоча б одного з двох несумісних подій дорівнює сумі їх ймовірностей.
При перекладі цієї теореми на математичну мову, виникає необхідність якось назвати і позначити подія, яке у настанні хоча б одного з двох даних подій А і В. Така подія називають сумою подій А і В і позначають А + В.
Якщо А і В несумісні, то Р (А + В) = Р (А) + Р (В). p> Справді,
Р (А + В) =
несумісних подій А і В зручно ілюструвати малюнком. Якщо все результати досвіду-деяке безліч точок на малюнку, то події А і В-це деякі підмножини даного безлічі . Несумісних А і В означає, що ці дві підмножини НЕ перетинаються між собою. Типовий приклад несумісних подій-будь-яка подія А і протилежну подію ДЂ.
Зрозуміло, зазначена теорема вірна і для трьох, і для чотирьох, і для будь-якого кінцевого числа попарно несумісних подій. Ймовірність суми будь-якого числа попарно несумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій. Це важливе твердження як раз і відповідає способу вирішення завдань В«перебором випадківВ».
Між подіями, відбуваються в результаті деякого досвіду, і між вірогідністю цих подій можуть бути якісь співвідношення, залежності, зв'язку і т. п. Наприклад, події можна В«складатиВ», а ймовірність суми несум...
