к як х 2 = 2 , а при х <0 маємо - х > 0,
то при х < 0 вірно рівність = 2 = - Х (3)
Отже,
x, якщо х 0,
= - х, якщо х <0.
Але ми знаємо, що х, якщо х 0,
=
- х, якщо х <0. br/>
Тому для всіх чисел х вірно рівність
=. (4)
В
Наприклад, == 8, 2 == 12.
Приклад 1 . Спростимо вираз + 2 + - 2 . p> Р і ш е н і е. Так як 2 = 3, 2 = 2, то + 2 + - 2 = 2 +
2 + 2 + 2 - 2 + 2 = 2 2 + 2 2 2 3 +2 2 == 10.
Приклад 2 . Знайдемо значення виразу при а = 2,1; b = 3,6
Рішення. При будь-якому значенні х виконується рівність
=. Тому =. Але == 1,5. Значить, при а = 2,1; b = 3,6 маємо = 1,5. <В
5. Витяг квадратного кореня з добутку, дробу і ступеня
В
Вирази і мають одне і те ж значення 6.
Справді, = 3, = 2, = 6, тому = 3 лютого = 6 і === 6. Рівність = - приватний випадок загального затвердження.
Теорема 1 . Квадратний корінь з добутку двох невід'ємних чисел дорівнює добутку квадратних коренів з цих чисел, тобто при а 0, b 0 маємо =
Доказ .
Нехай числа а і b ненегативні.
Тоді за правилом зведення в ступінь маємо
2 == А b
Крім того, - невід'ємне число як добуток двох невід'ємних чисел і. Тому = p> Приклад 1. Знайдемо значення виразу p> Рішення.
Ми маємо = 25, = 16, = 0,01,
і тому = 25160,01 = 4.
Аналогічно доводиться, що =
Теорема 2 . Квадратний корінь з дробу з ненегативним чисельником і позитивним знаменником дорівнює приватному від ділення квадратного кореня з чисельника на квадратний корінь із знаменника, тобто при а 0 і b > 0 маємо
Теорема 3. При будь-якому значенні а й при будь-якому b 0 вірно рівність
6. Перетворення виразів
При перетворенні вираженні, що містять квадратні корені, виявляється корисною наступна формула:
=,
де А 2 В (в обох частинах рівності одночасно беруться знаки В«плюсВ» і В«мінусВ«). Щоб довести це рівність, зауважимо, по-перше, що і ліва, і права його частини є при А 0, В 0, А 2 - В 0 невід'ємними числами. Зведено тепер обидві частини рівності в квадрат. У лівій частині маємо А, в правій частині за формулою квадрата суми або різниці отримуємо
2 + =
= А 2 = А 2 =
= А 2 = А 2 = А.
Таким чином, квадрати обох частин рівності виявилися однаковими, а оскільки ці частини - невід'ємні числа, то рівність доведено.
Приклад 1. Спростити вираз.
1-й спосіб . В одному випадку маємо А = 5, В = 21, А 2 - В =
= 5 2 - 21 = 4, і тому за формулою
= - = -. <В
2-й спосіб . Наведемо подкоренное вираз до повного квадрату:
5 - == = p> ===.
Тому ==
Приклад 2. Спростити вираз
1-й спосіб:
= + =
= + =
В
2-й спосіб. Наведемо подкоренное вираз до повного квадрату:
В В
Приклад 3 . Спростити вираз
Рішення.
В
Відповідь: 10.
Приклад 4 . Спростити
Рішення.
1. p> 2. p> 3. p> Відповідь:
Приклад 5 . Яке з чисел більше: чи? p> Рішення.
Очевидно, що p> Оцінимо суму
В В
Так як, а, то
Відповідь:
В
7. Алгоритм добування квадратного кореня стовпчиком
Цей спосіб дозволяє знайти наближене значення кореня з будь-якого дійсного числа з будь-який наперед заданою точністю.
Для ручного витягання кореня застосовується запис, схожа на поділ стовпчиком. Нехай витягується корінь з цілого числа A . У відміну від ділення знесення проводиться групами по дві цифри, причому групи слід відзначати, починаючи з десяткової коми (в обидві сторони), дописуючи необхідною кількістю нулів.
Знайти a n , квадрат якого найближче підходить до групи старших розрядів числа A , залишаючись менше останнього.
Провести віднімання із старших розрядів A квадрата числа a n .
Подвоїти a n .
Зрушити з...
