те ж саме з числами виду 1,4142 х . Продовжуючи цей процес, отримуємо одну за одною цифри нескінченної десяткового дробу, що дорівнює.
Аналогічно доводиться існування квадратного кореня з будь-якого позитивного дійсного числа. Зрозуміло, послідовне зведення в квадрат вельми трудомістке заняття, і тому існують способи швидше знаходити десяткові знаки квадратного кореня. За допомогою мікрокалькулятора можна знайти значення з вісьмома вірними цифрами. Для цього досить ввести в мікрокалькулятор число а> 0 і натиснути клавішу - на екрані висвітиться 8 цифр значення. У деяких випадках доводиться використовувати властивості квадратних коренів, які ми вкажемо нижче.
Якщо точність, що дається мікрокалькулятором, недостатня, можна скористатися способом уточнення значення кореня, що даються наступною теоремою.
Теорема. Якщо а - позитивне число і - наближене значення для по надлишку, то - наближене значення для по недоліку .
Доказ .
За умовою x 1 > і тому х 1 2 > A, <1. Але 2 == a . Т.к. <1, то a < a . Значить, а і - наближене значення для по недоліку.
Аналогічно доводиться, що якщо - наближене значення для по недоліку, то - наближене значення по надлишку.
Оскільки і є наближеними значеннями для по надлишку і по недоліку, то в якості кращого наближення для природно вибрати середнє арифметичне цих чисел, тобто число х2 =. А щоб одержати ще більш точне значення для, треба взяти середнє арифметичне чисел, тобто число х3 =. Так обчислюються одне за іншим всі кращі і кращі наближені значення для. Наближення ведуть до тих пір, поки два отримані значення не співпадуть в межах заданої точності. Можна довести, що кожне наближення приблизно подвоює число вірних десяткових знаків.
Приклад 1. Уточнимо за формулою х2 = наближення
х1 = 1,414 для.
Рішення.
У нашому випадку а = 2. Тому
х1 = (1,414 + 1,4144271) + 1,4142135 ...
Виконавши ще одне наближення, ми переконаємося, що всі виписані знаки отриманої відповіді вірні, тобто число вірних знаків подвоїлася.
Приклад 2 . Знайдемо наближене значення для з точністю до 0,0001.
Рішення.
Виберемо за перше наближення для число 2. Тоді друге наближення обчислюється так:
х2 == 2,25
Далі маємо
х3 == 2,2361,
х4 == 2,2361.
Значить, з точністю до 0,0001 маємо = 2,2361.
Відповідь:
3. Геометричні програми
В
До витяганню квадратних коренів зводяться багато геометричні задачі. Наприклад, в курсі геометрії доводять теорему Піфагора : квадрат довжини гіпотенузи прямокутного трикутника дорівнює сумі квадратів довжин катетів цього трикутника. Індійці дві тисячі років тому доводили її за допомогою наступного креслення.
В
Рис. 1
Бачимо, що площі заштрихованих фігур в обох квадратах рівні, але в одному випадку площа дорівнює, а в іншому -. Значить,. p> З теореми Піфагора випливає, що відстань між точками
М (х1; у1) і N (x2; y2) координатної площини (Рис. 2) виражається формулою
MN = (1)
В
Приклад 1 . Знайдемо відстань від вершини дерева до кінця його тіні, якщо висота дерева дорівнює 12 м, а довжина тіні - 16 м.
Рішення. За теоремі Піфагора маємо
В
Так як, тобто відстань дорівнює 20 м.
Приклад 2 . Знайдемо відстань між точками М (3; 1) і N (8; -11) координатної площині.
Рішення.
За формулою (1) маємо MN === 13
В
4. Основні тотожності для квадратних коренів
В
З визначення квадратного кореня випливає, що рівність = х, де а0, вірно в тому і тільки в тому випадку, коли х 2 = а, причому х0. Замінюючи в рівності х 2 = а змінну х на, отримуємо тотожність 2 = а, (1)
вірне для всіх а0. Замінюючи в рівності = х змінну а на х 2 , отримуємо тотожності
= х, (2)
яке вірно для всіх х0.
Наприклад , 2 = 25; 2 = 8; 2 = 0,11; = 6; = 0,24. p> Формули і показують, що для невід'ємних чисел операції зведення в квадрат і витягання квадратного кореня взаємно протилежні, тобто якщо виконати над яким-небудь ненегативним числом спочатку одну з цих операцій, а потім іншу, то число не зміниться.
Якщо а - негативне число, то рівність невірно, так як не має числового значення. При негативних значеннях х невірно і рівність. Наприклад , 2 == 5, а не -5. Та...
