ала сучасний спосіб запису дробів тим, що дозволяла записувати цілю і дробову частину однотипно, що значно спрощувало обчислення. Поступово, виникають здогади, що це зручність не пов'язано з якимись особливими властивостями число 60. В«Зріє думка про те, що в основу системи таких дробів може бути покладено і інше число ... Розуміння цієї думки можна бачити вже в підручнику арифметики середини XII в., що приписується Іоанну Севільському. Йордан Немораррій (XIII ст.) Дає навіть спеціальну назву таким систематичним дробям, аналогічним шестидесятеричной В»[6, стор 240]. Ідея десяткових дробів використовувалася деякими математиками, але до XIV століття суворого їх побудови не було. У середині XIV ст. французький математик Бонфіс зробив спробу розвинути ідею десяткового числа. Проте його робота носила ескізний характер і не була опублікована.
У першій половині XV теорію десяткового числа побудував самаркандський математик Джемшид Гіяседдіном ал-Каші. Він описав десяткову запису числа і описав правила поводження з десятковими дробами. Проте роботи ал-Каші залишалися невідомими аж до середини XX століття.
У Європі десяткові дроби з'явилися завдяки інженеру Симону Стевін (1548-1620). Він об'єднав окремі ідеї і уявлення про десяткових дробах і полум'яно їх пропагував. Великий інтерес матетіков викликали періодичні дроби. Вони були вперше виявлені арабським матетіком ал-Марадіні в XV ст. У Європі питання про періодичні дробах був серйозно розглянуто Валлісом в 1676 в трактаті з алгебрі. Питаннями періодичних дробів займалися також Лейбніц, Ламберт, Ейлер, Бернуллі, Гаус і ін
В
2В Проблема несумірних або Перший криза в підставі математики
Як видно з попереднього історичного екскурсу, твердого розуміння що таке число довгий час не був. З точки зору давніх греків, числом було тільки натуральне число більше одиниці. Кілька більш прогресивна система числення була у вавлонян, іспользущіх шестідесятірічних дробу. Вавилоняни знали теорему Піфагора і стикалися з проблемою вилучення коренів з чисел НЕ мають точного квадрата. Однак, немає даних про те, чи розглядали вони цей питання теоретично. В«Володіння подібної [шестідесятірічной] системою і випливає звідси впевненість в числових розрахунках неминуче приводили до В«НаївномуВ» поняттю дійсного числа, майже збігається з тим, яке в наші дні можна зустріти в елементарних підручниках математики (пов'язане з десяткового системою числення) або у фізиків і інженерів. Це поняття не піддається точному визначенню, але його можна виразити, сказавши, що число розглядається як певне завдяки можливості отримувати його наближені значення та вводити їх в обчислення. В»[2, стор 146]. Такий же прагматичний підхід до ірраціональних числах був поширений в Індії і Китаї. p> Незважаючи на недосконалу систему числення, строгість і теоретичність грецькій математики сприяла розвитку уявлень про число. Як вже було зазначено вище, кожне число греки бачили як суму одиниць. Одиниця була утворює кожного числа, а всі числа складалися вимірювалися одиницею. Такий же підхід був до геометричних об'єктів. В основі теорії сумірності лежала ідея про те, що існує єдина одиниця вимірювання всіх відрізків, така що кожен відрізок можна ототожнити з натуральним числом, за кількістю в ньому одиничних відрізків. Звідси природним чином випливало, що ставлення двох відрізків можна було описати двома цілими числами, або, кажучи сучасною мовою, раціональним числом. Подібні погляди були поширені у грецькій філософії; так, піфагорійці вважали, що під все можна підвести число, Фалес намагався пояснити різноманіття світу з єдиного початку.
Однак завдяки теоремі Піфагора відкрита ірраціональність, яка була серйозним ударом вченню піфагорійців. Школою Піфагора було встановлено, що ставлення діагоналі квадрата до його стороні не може бути раціональним числом. Доказ цього факту мається на В«Засадах" Евкліда. Вважають, що це і є пифагорейское доказ [10, стор 73]. Наведемо його в сучасній трактуванні [10, стор 73].
Нехай - Діагональ квадрата, а - його сторона. Тоді їх відношення дорівнює відношенню цілих чисел. Виберемо такі числа, щоб вони були взаімопростимі. br/>В
Зведено цю дріб в квадрат. За теоремою Піфагора, отже
(1)
Звідси випливає, що - парне число. З властивостей парних і непарних чисел випливає, що і парне, отже. Підставляючи в (1), маємо
В
З чого випливає що, парне число, а значить і n парне, що неможливо тому m і n взамопростие.
Це чудовий приклад того, що математики називають красивим доказом, деякі дослідники вважають, що це було перше в історії доказ В«від протилежного В»[1, стор.235]. Можливо, доведенню цієї теореми передували спроби знайти практично спільну міру цих двох величин [7, стор 92].
Це відкриття потрясло греків. В«... Проблема несумірності отримала гучну популярність серед широких кіл освічених людей В»[...
