елементи науки того часу В»[7, стор 83]. З цих та інших причин математика, її методи і результати виглядали містично. Найбільш розвиненим і філософськи обгрунтованим містичним поглядом на числа були піфагорейство і неопіфагорейство. Спрощуючи, можна сказати, що пифагореизм в основі гармонії світу бачив число, для піфагореїзму всі числа мали містичний зміст. Подібні погляди можна зустріти і сьогодні. Проте слід визнати, що проникнення в філософію понять математики найчастіше було плідним. Як приклад можна привести категорію В«КількістьВ» у філософії Канта і у діалектичному логіці, а також парадокси теорії множин.
Хоча аксіоматично спочатку будується безліч натуральних чисел, потім цілі числа, а потім вже раціональні, історично раціональні числа з'явилися раніше негативних чисел і нуля.
Спочатку поняття нуля виникло як позначення нульового розряду в запису чисел. Перше достовірне використання нуля виявлено в Індії і відноситься до IX століття. Однак точне походження цифри нуль у позиційних системах не відомо. В«Одні дослідники (Р. Фреуденталь) припускають, що нуль був запозичений у греків ... Інші (Дж. Нідем), навпаки, вважають, що нуль прийшов до Індії з сходу В»[10, стор 183]. В Індії найбільш ясно і повно дослідили питання про застосовності до 0 арифметичних операцiй, математиком Бхаськара навіть досліджувалося питання про поділ на на 0.
Також в індійській математиці було найбільш чітке уявлення про негативні числах. В«Індійські математики, починаючи з Брахмагунти (VII ст.н.е.), систематично користувалися негативними числами і трактували позитивне число як майно, а негативне як борг В»[10, стор 190], хоча ми не можемо стверджувати, що негативні числа вперше з'явилися в Індії. Було встановлено, що квадрат від'ємного числа - число позитивне, також ставилися питання про наявність квадратного кореня з від'ємного числа. Діям з негативними числами присвячена ціла глава у творі Бхаскару «³джаганітаВ». p> Менш ясні уявлення про негативні числах були і у китайців. Їх поява було пов'язане із завданнями, які сьогодні називаються системи лінійних рівнянь. В«Так як всі обчислення, в тому числі і перетворення матриці, вироблялися на лічильної дошці, то для позначення негативних чисел застосовувалися рахункові палички іншого кольору чи форми, а у разі запису застосовувалися ієрогліфи різних квітів В»[11, стор.84]. Юшкевич висловлює припущення про те, що подання про негативні числах мав Діофант [10, стор 145].
Хоча ідея ввести позначення для В«нічогоВ» виникла в математиці досить давно, але як число нуль довгий час не сприймався. Тим більше повноправними числами не сприймали негативні числа, думка про те, що є щось менше ніж В«ніщоВ» багатьом здавалася абсурдною. В«... Ще Кардано називає негативні числаВ« фіктивними В» [10, стор 315]. p> Інтерпретація негативного числа як В«боргуВ» у індусів перейняли араби, використання негативних чисел зустрічається в роботах арабського математика Абу-л-Вафи. Вважається, що термін борг був запозичений математиком Середньовіччя Леонардо Пізанський (бл. 1170-після 1250, відомий як Фібоначчі) у арабів. Крім В«боргуВ» існував термін В«менше, ніж ніщоВ». Зачатки геометричній інтерпретації від'ємних чисел з'являється в роботі М. Штіфеля В«Повна арифметикаВ», але тільки після робіт Ферма і Декарта ставлення до негативних числах кардинально змінилося. Застосування негативних чисел і нуля зіграло важливу роль у математики, дозволило узагальнити багато завдань, спростити деякі обчислення і формалізувати багато алгоритми.
Як було зазначено раніше, дробу з'явилися набагато раніше ніж цілі числа () і навіть раніше ніж операція ділення. Вони виникли з потреби ділити ціле на частини, а також висловлювати величину через її частини. Дробу виду називаються частками відомі людству з часів зародження математичного знання. Так єгиптяни мали позначення для дробів виду (одиничні), а також для, однак якщо їм зустрічалися дробу іншого виду, вони розкладали їх на суму одиничних дробів. Одиничні дробу використовувалися на ранніх етапах греками і шумерами. Дробу загального виду з'являються в Греції, хоча спочатку не приймаються як числа. Греки вперше побудували, за нашими поняттями групу позитивних раціональних чисел. В«Тільки в Греції почали оперувати з дробами виду, причому вміли виробляти з ними все дії арифметики з тим обмеженням, що вичитати можна було з більшого меншу В»[10, стор 71].
Дроби також були здавна відомі в Індії, згадки про такі дробах як ставляться до середини II тисячоліття до н.е. Причому індійці записували їх способом, що нагадує сучасний: чисельник над знаменником, але без розділової риси. Також вказувалися правила поводження з такими об'єктами, аналогічні сучасним правилам поводження з дробами.
Кілька слів варто сказати про походження десяткових дробів. Прообразом для десяткових дробів послужили шестідесятірічних дробу, використовувані вавілонянами. Вона нагадув...
