10, стор 73]. Є легенда про те, що Піфагор в подяку богам приніс у жертву сто биків [7, стор 91]. Можливо було навіть думка що цей результат повинен залишитися таємним [1, стор.235].
Несумірність не мала геометричного осмислення. Це явище назвали В«алогон", не піддається осмисленню. Термін В«ірраціональністьВ» є латинською переведенням цього слова [7, стор.91]. В історії математики крах піфагорейської арифметики називають Першим кризою математики .
Слідом за відкриттям ірраціональності пішло відкриття ірраціональності чисел, зроблене Теодором (Феодором) з Кірени. Учень Теодора Теєтет (початок IV в. Е.) довів кілька теорем і критеріїв несумірності, зокрема він запропонував метод для доказу иррациональностей виду. Теєтет класифікував ірраціональності, також він вважається творцем загальної теорії подільності.
2.1В Слідства першої кризи і спроби його подолання
Відкриття несумірності справила величезний вплив на грецьку думку. В«Саме з відкриттям несумірних величин в грецьку математику проникло поняття нескінченності В»[1, стор 235]. Справа в тому, що до відкриття несумірності греки знаходили спільну міру за допомогою алгоритму Евкліда. Але випадку несумірних відрізків алгоритм переставав бути кінцевим. Цей факт спонукав греків до розгляду нескінченності. Однак поняття нескінченності давалося грекам з працею і глибоко бентежило їх. Труднощі пов'язані з поняттям нескінченного привели до ще більшої кризи в математиці і знайшли відображення в знаменитих апориях Зенона Елейського. Ці апорії (парадокси) розкривали протиріччя між тими хто вважав що матерія і час нескінченно делімиі тими, хто вважав що існують первинні неподільні одиниці. Наведемо найцікавіші для порушеної теми парадокси по [10].
1. Парадокс В«ДихотоміяВ» побудований в припущенні, що простір ділимо до нескінченності.
Движущееся тіло ніколи не досягне кінця шляху, бо спочатку воно повинно дійти до середини відрізка, потім до середини залишку відрізка, потім до чверті відрізка і так далі. Таким чином тіло повинно пройти нескінченний набір точок. p> 2. Парадокс В«СтрілаВ», побудований в припущенні, що час простір і час складаються з неподільних елементів.
Стріла в деякий момент часу знаходиться в точці в нерухомому стані. Так як це вірно в кожен момент часу, то стріла спочиває. p> Незважаючи на те що, в цих парадокси відображено незнання греками поняття межі, ці парадокси не так прості. Запитання, поставлені Зеноном, обговорювалися філософами і математиками у всі часи. Зокрема такими математикам як Гільберт і Вейль. Але для грецьких математиків питання було в тому, припустимо або допустимо використовувати нескінченність в математиці. Це питання в грецькій математики стояло дуже гостро. Наприклад, Протагор (V ст. До н.е) заперечував навіть всі математичні абстракції [10, стор 94].
Перша концепція нескінченного, яка стала загальноприйнятою у грецькій математиці, була висунута Анаксагором (V ст. до н.е.) і розвинена Евдоксом Кнідським. Евдоксу належить метод вичерпання, який був покликаний вирішити проблему несумірних. Для цього він будує теорію величин аксіоматично. Величини в розумінні Евдокса мають різну природу - відрізки, числа, час, але все величини характеризуються [1]:
1. Транзитивні. «гвні одному і тому ж рівні між собоюВ». p> 2. В«Якщо до рівних додаються рівні, то і залишки будуть рівніВ». p> 3. В«Якщо від рівних віднімаються рівні, то і залишки будуть рівніВ». p> 4. Еквівалентністю. В«... Суміщають один із одним рівні між собоюВ». p> 5. Всі величини одного виду впорядковані, тобто br/>
. br/>
6. В«... Ціле більше частиниВ». p> 7. В«Величини мають відношення один з одним, якщо вони взяті кратно можуть перевершити один одного В»(або в сучасному трактуванні: якщо, то знайдеться таке що). Цю аксіому Евдокс вводить, щоб виключити нескінченно великі величини. Вона відома в математиці під назвою аксіоми Архімеда, проте Архімед не тільки ні її автором, але навіть підкреслював, що це аксіома була відома до нього [2, стор 148]. p> Побудова цієї аксіоматики було значним кроком у бік теорії дійсного числа.
На безлічі величин Евдокс визначив операцію відносини. Два відносини і вважалися рівними якщо для будь-яких цілих чисел виконувалася одна з таких умов:
1. і
2. і
3. і. br/>
Аналогічним способом визначалися і нерівності між відносинами. Цей оператор розбивав всі величини на класи пропорційних один одному. Евдокс також встановив транзитивність операції відносини.
Як зазначено у [2, стор 149], введення едінозначного оператора відносини для будь-якого виду величин, передбачало що для будь-якої пари величин а величини знайдеться величина такого ж виду, що й, така що, але явно це положення не формулювалося і не розглядалося.
Як видно з визначення, кожне непорівнянне ставлення визначало два класи раціональних чисел. Істотним прогал...
