> 0 , за винятком, бути може, x 0 , і для всякого N > 0 знайдеться Оґ> 0 таке, що | f ( < i> x ) |> N , коли незабаром 0 <| x - < i> x 0 | <Оґ.
Можна говорити про межу f , коли х в†’ в€ћ:
(14)
Наприклад, у разі кінцевого числа А рівність (14) треба розуміти в тому сенсі, що для всякого Оµ> 0 можна вказати таке N > 0, що для точок х , для яких | x |> N , функція f визначена і має місце нерівність.
Отже, межа функції f ( x ) = f ( x 1 , ..., х п ) від п змінних визначається за аналогією так само, як для функції від двох змінних.
Таким чином, перейдемо до визначення межі функції декількох змінних.
Число А називається границею функції f ( M ) при М в†’ М 0 , якщо для будь-якого числа Оµ> 0 завжди знайдеться таке число Оґ> 0, що для будь-яких точок М , відмінних від М 0 і задовольняють умові | ММ 0 | <Оґ, буде мати місце нерівність | f ( M ) - А | <Оµ. p> Межа позначають У випадку функції двох змінних
Теореми про межі. Якщо функції f 1 ( M ) і f 2 ( M ) при М в†’ М 0 прагнуть кожна до кінцевого межі, то:
а)
б)
в)
Приклад 1. Знайти межа функції:
Рішення. Перетворимо межа наступним чином:
В
Нехай y = kx , тоді
Приклад 2. Знайти межа функції:
Рішення. Скористаємося першим чудовим межею Тоді p> Приклад 3. Знайти межа функції:
Рішення. Скористаємося другим чудовим межею Тоді
Безперервність функції декількох змінних
За визначенням функція f ( x , y ) неперервна в точці ( х 0 , у 0 ), якщо вона визначена в деякій її околиці, в тому числі в самій точці ( х 0 , у 0 ) і якщо межа f ( x , y ) в цій точці дорівнює її значенню в ній:
(1)
Умова безперервності f в точці ( х 0 , у 0 ) можна записати в еквівалентній формі:
(1 ')
тобто функція f неперервна в точці ( х 0 , у 0 ), якщо неперервна функція f (х 0 + О” х , у 0 + О” у) від змінних О” х , О” у при О” х = О” у = 0.
Можна ввести прирощення О” і функції і = f ( x , y ) в точці ( x , y ) , відповідне приращениям О” х , О” у аргументів
О” і = f (х + О” х , у + О” у) - f ( x , y )
і на цій мові визначити безперервність f в ( x , y ) : функція f неперервна в точці ( x , y ) , якщо
(1'')
В
Теорема. Сума, різниця, добуток і приватна безперервних в точці ( х 0 , у 0 ) функцій f і П† є безперервна функція в цій точці, якщо, звичайно, у випадку приватного П† ( х 0 , у 0 ) в‰ 0. p> Постійну з можна розглядати як функцію f ( x , y ) = з від змінних x , y . Вона неперервна по цим змінним, тому що
| f ( x , y ) - f ( Х 0 , у 0 ) | = | з - з | = 0 0.
Наступними за складністю є функції f ( x , y ) = х і f ( x , y ) = у . Їх теж можна розглядати як функції від ( x , y ) , і при цьому вони безперервні. Наприклад, функція f ( x , y ) = х приводить у відповідність кожній точці ( x , y ) число, рівне х . ...
