ехай в области Визначи векторна поле; - замкненому контур, Який лежить в области; - довільна поверхню, межею Якої є контур; (В«поверхня натягнута на контурВ»); - одінічній вектор нормалі на обраній стороні поверхні.
Нехай Функції та їхні частинні похідні Першого порядку неперервні на поверхні. Тоді справедлива формула Стокса
,
де орієнтація контуру УЗГОДЖЕНО з орієнтацією поверхні. Ліва частина формули Стокса є ціркуляцією векторного поля Вздовж контуру, а права частина візначає Потік через поверхню векторного поля з координатами, тоб Потік через поверхню. Тому формулу Стокса можна записатися у векторній ФОРМІ:
(12)
або
. (13)
Фізичний Зміст формули Стокса: ціркуляція векторного поля Вздовж замкненому контуру дорівнює потоку ротора векторного поля через Поверхні, натягнуту на цею контур.
В
8. Властивості потенціального поля
Як відомо, Векторне поле, Яке задовольняє в области умову , Назівається потенціальнім у Цій области (- скалярна Потенціал поля). Если поле потенціальне в области, то и вирази є ПОВНЕ діференціалом Функції в области. Це означає, что виконан Умова незалежності кріволінійного інтеграла від шляху інтегрування в просторі.
Таким чином, потенціальне в области поле має Такі Властивості.
1. Ціркуляція потенціального поля Вздовж довільного замкненому контуру дорівнює нулю:
.
2. Для довільніх точок и области ціркуляція потенціального поля Вздовж крівої НЕ поклади від Вибори крівої и дорівнює різніці значень потенціала в точках і:
.
У випадка силового потенціального поля ця властівість означає, что робота такого поля Вздовж крівої НЕ покладів від Вибори крівої, а поклади Тільки от початкової и кінцевої точок і.
3. Потенціальне полі є безвіхровім, тоб.
Нехай тепер дано Векторне поле, Яке задовольняє в области умову . Чі віпліває звідсі, что полі є потенціальнім в области? Відповідь на це запитання поклади від форми области. Если область є поверхнево однозв'язною, то Із умови віпліває, что існує функція така, что
.
Отже,, тоб поле є потенціальнім в области.
Таким чином, Умова є необхідною и Достатньо умів потенціальності поля у поверхнево однозв'язній области.
Потенціал потенціального поля у поверхнево однозв'язній области можна обчісліті за формулою:
В
. (14)
Если область і не є поверхнево однозв'язною, то Умова НЕ є Достатньо для потенціальності поля в области.
В
9. Інваріантне Означення ротора
Нехай в области Визначи векторне поле. Зафіксуємо точку и Деяк площинах, яка проходитиме через Цю крапку. Нехай - одінічній вектор нормалі до площини, - замкненому контур, Який лежить в площіні и обмежує область таку, що - внутрішня точка области. Запішемо формулу (12) для векторного поля в области. Застосовуючі до правої Частини цієї формули теорему про середнє, отрімуємо
,
діференціальне Векторне поле формула соленоїдальне
Звідки
,
де - площа области, - Деяка точка области.
Стягуватімемо область до точки так, щоб Залишаюсь внутрішньою точкою области. Тоді, а прямуватімемо до. Внаслідок неперервності Значення прямуватімемо до. Таким чином, отрімуємо
.
У праву Частину формули входять величини, інваріантні відносно Вибори системи координат (Ціркуляція векторного поля Вздовж замкненому контуру и площа плоскої области). Тому дана формула Дає інваріантне Означення проекції в точці на Напрям, Який віражається завдання вектора. p> Отже, Проекція ротора векторного поля на довільній Напрям, а отже, и сам поклади Тільки от векторного поля и НЕ поклади від Вибори системи координат.
для означення вектора віщезазначенім способом Достатньо Розглянуто в заданій точці проекції на три довільніх некомпланарних напрями. Такими трьома проекціямі візначається однозначно.
В
