ьої нормалі дорівнює потрійному інтегралу по области, обмеженій цією поверхнею, від дівергенції векторного поля. Щоб Потік БУВ відміннім від нуля, всередіні области мают буті джерела (або стоки) поля. Із формули Остроградського-Гаусса віпліває, что тоді є Відмінною від нуля. Таким чином, характерізує джерела поля. Само векторна полі як бі розходу від джерел. Звідсі и походити назва В«розбіжністьВ» або В«ДівергенціяВ». br/>
4. Властивості соленоїдального поля
Як відомо, Векторне поле, Яке задовольняє в области умову , Назівається соленоїдальнім в Цій области. Нехай область є об'ємно однозв'язною. Це означає, что, ЯКЩО кусково-гладка Замкнена Поверхня лежить в области, то и область, яка обмежує поверхню, Цілком захи области. Прикладами об'ємно однозв'язніх областей є куля, паралелепіпед, тор. Відзначімо, что тор НЕ є поверхнево однозв'язною області. Область, яка знаходится между двома сферами, які не є об'ємно однозв'язною (альо є поверхнево однозв'язною).
Із формули Остроградського-Гаусса віпліває, что соленоїдальне поле в взаємно однозв'язній области має таку властівість: Потік соленоїдального поля через довільну замкненому поверхнею, яка знаходится в Цій области, дорівнює нулю.
Відзначімо, что, ЯКЩО область і не є об'ємно однозв'язною, то Потік соленоїдального (у Цій области) поля через замкненому поверхнею, яка знаходится в области, может буті відміннім від нуля. Так електричне поле точкового заряду, Який містіться в точці, є соленоїдальнім в Кулі з викинути центром (при).
Слово В«СоленоїдальнеВ» означає В«трубастеВ». Для соленоїдального поля є справедливістю закон Збереження інтенсівності векторної трубки. З'ясуємо суть цього закону. p> Нехай - соленоїдальне полі. Розглянемо відрізок В«векторної трубкиВ», тоб область, обмеженності двома перерізамі І та бічні поверхні, яка Складається Із векторна ліній (рис. 1). Застосуємо до Такої области формулу Остроградського-Гаусса (8). Оскількі в соленоїдальному полі, то Потік векторного поля через поверхню области дорівнює нулю: (- одінічній вектор зовнішньої нормалі). На боковій поверхні маємо, того. p> Отже,
.
В
Рисунок 1 - Відрізок В«векторної трубкиВ»
Змінімо на перерізі Напрям нормалі на протилежних (- внутрішня нормаль до). Тоді отрімаємо
,
де Обидва потоки через перерізі и обчислюють у напрямі векторна ліній.
Таким чином, у соленоїдальному (трубчатий) векторному полі Потік через будь-який переріз векторної трубки набуває одного й того самого значення. Це и є закон Збереження інтенсівності Збереження векторної трубки.
5. Інваріантне Означення дівергенції
Нехай в области, обмеженій поверхнею, Визначи векторне поле. Запішемо формулу (8) для векторного поля в области. Застосовуючі до лівої Частини цієї формули теорему про середнє, отрімаємо
В
або
,
де - об'єм области, а - Деяка точка области.
Зафіксуємо точку и стягуватімемо область до точки так, щоб Залишаюсь внутрішньою точкою области. Тоді, а прямуватіме до. Внаслідок неперервності Значення прямуватіме до. Таким чином, отрімуємо
. (9)
У праву Частину формули (9) входять величини, інваріантні відносно Вибори системи координат (Потік векторного поля через поверхню и об'єм области). Тому формула (9) Дає інваріантне Означення дівергенції векторного поля. Отже, дівергенція векторного поля поклади Тільки от самого поля и НЕ поклади від Вибори системи координат.
6. Ціркуляція векторного поля
Розглянемо Векторне поле, визначене в просторовій области, и Деяк кусково-гладких кривих, на якій вказано Напрям обходу (вибір напряму обходу назівають такоже орієнтацією крівої). Нехай - одінічній дотичність вектор до крівої у точці, напрямленості в сторону обходу крівої.
Кріволінійній інтеграл
(10)
назівається ціркуляцією векторного поля Вздовж крівої у заданому напрямі.
Если взяти Інший Напрям обходу крівої (Изменить орієнтацію), то вектор змініть Напрям на протилежних, того Скалярним добуток, а, отже, и ціркуляція (кріволінійній інтеграл (10)) змініть знак.
Если - силовий векторне поле, тоб - вектор сили, то ціркуляція візначає роботу силового векторного поля Вздовж крівої в заданому напрямі.
Если в Прямокутній Системі координат, а, то вирази (10) для ціркуляції векторного поля можна записатися в вігляді
. (11)
Кожний доданок у правій частіні (11) поклади від Вибори системи координат, протікання їхня сума, тоб ціркуляція, очевидно, НЕ поклади від Вибори системи координат.
Если ввести вектор, то ціркуляцію можна записатися у вігляді (порівняйте з правою Частинами рівності (11)).
7. Формула Стокса у векторній ФОРМІ
Н...
