Dom ( F ) дорівнює f (x).
Обмеження f на Х позначається через f | X. Ran ( f | X) позначається через f (X). Если Y - множини, то прообразом Y відносно f назівається множини f -1 (Y) = {x | f (x) Y}. (Помітімо, что прообраз визначеня даже тоді, коли функція НЕ ін'єктівна.) p> Если f, g-Функції , то будемо Говорити, что g Продовжує f, колі Dom (f) Dom ( g) и f (х) = g (х) для всех х Dom (f); у коротшому записів: f = g/Dom (f). Це відношення функцій f, g запісується як f g.
Композиція двох функцій f и g є функція з ОБЛАСТЬ визначення {x/xDom (g) и g (x) Dom (f)}, Значення Якої, коли вона Визначи, є f (g (x)). Цю функцію позначають через fg .
Через f 0 позначаємо ніде НЕ визначеня функцію; тоб Dom ( f 0 ) = Ran ( f < sub> 0 ) = 0. Очевидно, что f 0 = g | 0 для будь-якої Функції g.
У Обчислення нам часто будут зустрічатіся Функції чг вирази, что включаються Функції, что НЕ усюди візначені. У таких випадка Дуже зручне Наступний позначені. Нехай a (x) i b (х) - вирази , что включаються змінні х = (х 1 , ..., х n ) . Тоді запис а (x) b (x) означає, что для шкірного х вираженною а (x) i b (x) або одночасно візначені и Рівні, або Обидва НЕ візначені. Так, Наприклад, для функцій f и g запис f (x) g (x) означає, что f = g; и для довільного числа y запис f (x) y означає, что f (x) Визначи и дорівнює y (оскількі y всегда визначене).
Функції від натуральних чисел. У більшій частіні цієї книги ми будемо мати Справу з функціямі від натуральних чисел, тоб з функціямі з N n в N для різніх п, здебільшого для п = 1 чг 2.
Функція f з N n в N назівається п-місною функцією. Значення f на п-кі (x 1 , ..., х n ) Dom ( f ) запісується як f (x 1 , ..., x n ) чі f (x), ЯКЩО x представляет ( x 1 , ..., x n ). У багатьох книгах и Статтей Термін часткова функція вікорістовується для позначені Функції з N n у N, область визначення Якої НЕ обов'язково збігається з N n . Для нас слово функція означає частковий функцію. Прото при нагоді ми будемо писати В«часткова функціяВ», щоб підкресліті ее можливіть В«Не усюди візначеність В». тотально функцією з N n у N мі назіваємо функцію з N n у N), область визначення Якої є ВСІ N n . l
Мі затушовуємо розходження между функціямі и їхнім значенням в різніх Крапка, особливо у випадка теоретико-числових функцій у двох й достатньо стандартних и недвозначніх сітуаціях. По-перше, ми допускаємо Такі фрази як В«Нехай f (x 1 , ..., x n ) - функція ... В», Що означає, что f є n-місною функцією. По-друге, ми часто опісуємо функцію в термінах ее значення, а что задається Деяк формулою. Наприклад, В«функція х 2 В» означає В«одномісна функція f, Значення Якої в шкірному х N є х 2 В»; аналогічно В«функція х + уВ» означає В«двомісна функціяВ», значення Якої в Кожній Парі (х, у) N 2 є х + у.
Функцію, тотожня рівну 0 на N, мі позначаємо через 0, и взагалі для т N функцію NN, Значення Якої усюди дорівнює т, ми позначаємо жирна символом т .
3. Відношення и Предикатом
Если А - множини, то властівість М (х 1 , ..., х n ), что віконується на Деяк n-ках з А n и НЕ віконується (чі помилковості) на всех других n-ках з A n , назівається п-міснім відношенням, чі предикатом на А.
Наприклад, властівість х <у є двомісне відношення (чі предикат) на N; 2 <3 віконується (чі Істинно), тоді як 9 <+5 НЕ віконується (чі Хибне). Інший приклад: шкірний n-місна функція f з N n у N приводити до (п + 1) - місцевого предиката М (х, у), что задається умів:
М ( x 1 , ... , х n у), ЯКЩО и Тільки ЯКЩО f (x 1 , ..., x n ) у.
Відношення еквівалентності І Порядку. (Читач, що не знайомиться з цімі Поняття, может при бажанні...
