й формулі ми можемо поміняти межі - межа інтегрування в несобственном интеграле і межа при всередині інтеграла. Наведемо результат: В
Візьмемо по частинах цей інтеграл:
В В В
Якщо провести цю процедуру n раз, отримаємо:
В
Переходячи до межі, отримаємо граничну форму Ейлера для гамма-функції:
В
(2.6)
2.6 Формула для твору
Нижче знадобиться формула, в якій твір двох гамма-функцій представляється через одну гамма-функцію. Виведемо цю формулу, використовуючи інтегральне представлення гамма-функцій. <В
Повторний інтеграл представимо як подвійний невласний інтеграл. Це можна зробити, скориставшись теоремою Фубини. В результаті отримаємо:
В
Невласний інтеграл рівномірно сходиться. Його можна розглядати, наприклад, як інтеграл по трикутнику, обмеженому осями координат і прямої x + y = R при R. У подвійному интеграле зробимо заміну змінних:
В
Якобіан цієї заміни
В
Межі інтегрування: u змінюється від 0 до в€ћ, v при цьому змінюється від 0 до 1. В результаті отримаємо:
В
Перепишемо знову цей інтеграл як повторний, в результаті отримаємо:
В
де R p > 0, R v > 0. br/>
2. Похідна гамма функції
Інтеграл
В
сходиться при кожному, оскількиВ , І інтеграл при сходиться.
В області, де - довільне позитивне число, цей інтеграл сходиться рівномірно, так як і можна застосувати ознака Вейрштраса. Сходящимся при всіх значеннях є і весь інтеграл так як і друге доданок правої частини є інтегралом, завідомо сходящимся при кожному. Легко бачити що інтеграл сходиться по в будь-якій області де довільно. Дійсно для всіх зазначених значень і для всіх, і так як сходиться, то виконані умови ознаки Вейерштраса. Таким чином, в області інтеграл сходиться рівномірно. p> Звідси випливає безперервність гамма функції при. Доведемо дифференцируемость цієї функції при. Зауважимо що функціяВ неперервна при та, і покажемо, що інтеграл:
В
сходиться рівномірно на кожному сегменті,. Виберемо число так, щоб; тоді при. Тому існує число таке, що й на. Але тоді на справедливо нерівність
В В
і так як інтеграл сходиться, то інтеграл сходиться рівномірно відносно на. Аналогічно для існує таке число, що для всіх виконується нерівністьВ . При таких і всіх отримаємоВ , звідки в силу ознаки порівняння випливає, що інтеграл сходиться рівномірно відносноВ на. Нарешті, інтеграл
В
в якому подинтегральная функція неперервна в області
, очевидно, сходиться рівномірно відносно на. Таким чином, на інтеграл
В
сходиться рівномірно , А, отже, гамма-функція нескінченно диференційовна при будь-якому і справедливо рівність
.
Щодо інтеграла можна повторити ті ж міркування і укласти, що
В
За індукції доводиться, що Г-функція нескінченно диференційовна при і ...
