неперервна. Зважаючи довільності s 0 О¶ ( s ) неперервна на всій області визначення.
Тепер почленного диференціюванням ряду (1), поки формально, знайдемо похідну дзета-функції Рімана:
(2). p> Щоб виправдати цей результат, досить упевнитися в тому, що ряд (2) рівномірно сходиться на проміжку і скористатися теоремою про диференціюванні рядів. Використовуємо той же прийом. Зафіксуємо будь s 0 > 1 і представимо ряд (2) у вигляді для s > s 0 . Множники, починаючи з n = 2, монотонно убувають, залишаючись обмеженими числом ln 2. Тому за ознакою Абеля ряд (2) сходиться рівномірно при s > s 0 , а значить і при будь-якому s > 1. Яке б значення s > 1 ні взяти його можна укласти між і, де, а; до проміжку застосовна вищевказана теорема. p> Таким же шляхом можна переконатися в існуванні для дзета-функції похідних всіх порядків і отримати їх вираження у вигляді рядів
. p> Спробуємо побудувати наочне зображення функції у вигляді графіка. Для цього вивчимо спочатку її поведінка на нескінченності та в околиці точки s = 1.
У першому випадку, через рівномірну збіжність ряду (1), по теоремі про почленного перехід до межі, маємо. При n = 1 межа дорівнює одиниці, інші межі рівні нулю. Тому. p> Щоб дослідити випадок, доведемо деякі допоміжні оцінки.
перше, відомо, що якщо для ряду існує безперервна, позитивна, монотонно спадна функція, визначена на множині, така, що, і має первісну, то залишок низки оцінюється так:, де. Застосовуючи вищесказане до ряду (1), знайдемо, що необхідна функція
, а й. Звідси, підставляючи в подвійну нерівність, маємо
(3). У лівому нерівності покладемо n = 0, тоді, тобто. У правому ж візьмемо n = 1 і отримаємо, далі, і, нарешті,. Переходячи в нерівностях до межі при, знаходимо. p> Звідси, зокрема, випливає, що. Дійсно, покладемо. Тоді, тобто. Тому. З того, що, а, випливає доказуване твердження. p> Можна, однак, отримати ще більш точний результат для оцінки поведінки дзета-функції в околиці одиниці, ніж наведені вище, що належить Дирихле. Будемо відштовхуватися від очевидного при довільному n рівності. Додамо до всіх частин нерівностей (3) суму і віднімемо. Маємо. Нехай тут s прагне до одиниці. За правилом Лопіталя легко обчислити і. Ми поки не знаємо, чи існує межа вираження при, тому, скориставшись найбільшим і найменшим межами, напишемо нерівності так:
. Через довільність n візьмемо. Перше і останнє вираження прагнуть до ейлеровой постійної C (C 0,577). Значить, а, отже, існує і звичайний межа і.
Знайдені вище межі дозволяють отримати лише приблизне уявлення про вигляді графіка дзета-функції. Зараз ми виведемо формулу, яка дасть можливість нанести на координатну площину ...
