громадськість вважала і вважає рішення цієї проблеми одним з пріоритетних завдань. Так Давид Гільберт, що виступав на Міжнародної Паризької математичної конференції 1900 з підбиттям підсумків розвитку науки і розглядом планів на майбутнє, включив гіпотезу Рімана в список 23 проблем, що підлягають вирішенню в новому столітті і здатних просунути науку далеко вперед. А на рубежі століть, у 2000 році американський The Clay Mathematics Institute назвав сім завдань, за рішення кожної з яких буде виплачений 1 мільйон доларів. У їх число також потрапила гіпотеза Рімана. p> Таким чином, навіть би поверхневе знайомство з дзета-функцією буде і цікавим, і корисним.
Глава 1.
Отже, приступимо до вивчення цієї важливої вЂ‹вЂ‹й цікавої дзета-функції Рімана. У цьому розділі ми отримаємо деякі властивості функції в речовинній області, виходячи з її визначення за допомогою ряду.
Визначення. дзета-функцією Рімана О¶ ( s ) називають функцію, яка будь-якому дійсному числу s ставить у відповідність суму ряду
(1)
якщо вона існує.
Основною характеристикою будь-якої функції є область визначення. Знайдемо її для нашої функції. p> Нехай спочатку s ≤ 0, тоді s = - t , де t належить безлічі невід'ємних дійсних чисел R + {0}. У цьому випадку і ряд (1) звертається в ряд, який, очевидно, розходиться як при t > 0, так і при t = 0. Тобто значення s ≤ 0 не входять до область визначення функції.
Тепер нехай s > 0. Для дослідження збіжності ряду (1) скористаємося інтегральним ознакою Коші. При кожному s розглянемо функцію, де, що є на проміжку безперервної, позитивної і монотонно спадної. Виникає три різних можливості:
1) 0 < s <1. Тоді, тому ряд (1) розходиться і проміжок (0; 1) не входить в область визначення дзета-функції;
2) s = 1. Отримуємо, тобто при s = 1 дзета-функція Рімана також не визначена;
3) s > 1. У цьому випадку
. Ряд (1) сходиться. p> Узагальнивши результати, знаходимо, що область визначення дзета-функції є проміжок. На цьому проміжку функція виявляється безперервної і дифференцируемой нескінченне число разів. p> Доведемо безперервність функції О¶ ( s ) на області визначення. Візьмемо довільне число s 0 > 1. Перепишемо ряд (1) у вигляді. Як було вище показано, ряд сходиться, а функції при s > s 0 монотонно убувають і все разом обмежені одиницею. Значить, за ознакою Абеля для s > s 0 ряд (1) сходиться рівномірно. Використовуючи теорему про безперервність суми функціонального ряду, отримуємо, що в будь-якій точці s > s 0 дзета-функція...
