як Nr 2 = 1. Відповідно, загальна формула співвідношення запишеться у вигляді:
Nr d = 1. (2.1)
Безліч, побудовані вище, володіють цілою розмірністю. Задамося питанням, чи можливо така побудова, при якому показник d у рівності (2.1) НЕ є цілим, тобто таке, що при розбитті вихідного безлічі на N непересічних підмножин, отриманих масштабуванням оригіналу з коефіцієнтом r, значення d НЕ буде виражатися цілим числом. Відповідь --- рішуче так! Таке безліч називається самоподібним фракталом. Величину d називають фрактальної (дробової) розмірністю або розмірністю подібності. Явна вираз для d через N і r знаходиться логарифмування обох частин (2.1):
logN
d = --------- (2.2)
log 1/r
Логарифм можна взяти по будь-якої підстави, відмінному від одиниці, наприклад по підставі 10 або по підставі е ~ 2,7183.
2.2. Сніжинка Коха.
Кордон сніжинки, придуманої Гельгом фон Кохом в 1904 році (ріс.2.2.1), описується кривою, складеної їх трьох однакових фракталів розмірності d ~ 1,2618. Кожна третину сніжинки будується итеративно, починаючи з одного зі сторін рівностороннього трикутника. Нехай K o --- початковий відрізок. Приберемо середню третину і додамо два нових відрізки такої ж довжини, як показано на рис. 2.2.2. Назвемо отримане безліч K 1 . Повторимо дану процедуру багаторазово, на кожному кроці замінюючи середню третину двома новими відрізками. Позначимо через K n фігуру, отриману після n-го кроку. p> Інтуїтивно ясно, що послідовність кривих K n при n прагне до нескінченності сходиться до деякої граничної кривої К. Розглянемо деякі властивості цієї кривої.
Якщо взяти копію К, зменшену в три рази (r = 1/3), То все безліч До можна скласти з N = 4 таких копій. Отже, відношення самоподібності (2.1) виконується при зазначених N і r, а розмірність фрактала буде:
d = log (4)/log (3) ~ 1,2618
Рис 2.2.1. Сніжинка Коха. <В
Ще одна важлива властивість, яким володіє межа сніжинки Коха --- її нескінченна довжина. Це може здатися дивним, тому що ми звикли мати справу з кривими з курсу математичного аналізу. Зазвичай гладкі або хоча б кусково-гладкі криві завжди мають кінцеву довжину (у чому можна переконатися інтегруванням). Мандельброт в цьому зв'язку опублікував ряд захоплюючих робіт, в яких досліджується питання про вимірювання довжини берегової лінії Великобританії. В якості моделі він
Рис. 2.2.2. Побудова сніжинки Коха. <В
використовував фрактальну криву, що нагадує кордон сніжинки за тим винятком, що в неї введений елемент випадковості, що враховує випадковість у природі. В результаті виявилося, що крива, що описує берегову лінію, має нескінченну довжину.
Доказ наводиться в [1].
2.3. Килим Серпінського.
