>
Ще один приклад простого самоподібного фрактала --- килим Серпінського (рис. 2.3.1), придуманий польським математиком Вацлавом Серпінським в 1915 році. Сам термін килим (gasket) належить Мандельброту. У способі побудови, наступному нижче, ми починаємо з деякої області і послідовно викидаємо внутрішні підобласті. Пізніше ми розглянемо і інші способи, зокрема з використанням L-систем, а також на основі ітерованих функцій.
Рис 2.3.1. Килим Серпінського
В
Нехай початкове безліч S 0 --- рівносторонній трикутник разом з областю, яку він замикає. Розіб'ємо S 0 на чотири менші трикутні області, з'єднавши відрізками середини сторін вихідного трикутника. Видалимо внутрішність маленької центральної трикутної області. Назвемо залишився безліч S 1 (рис. 2.3.2). Потім повторимо процес для кожного з трьох, що залишилися маленьких трикутників і отримаємо наступне наближення S 2 . Продовжуючи таким чином, отримаємо послідовність вкладених множин S n , чиє перетин утворює килим S.
З побудови видно, що весь килим являє собою об'єднання N = 3 істотно не пересічних зменшених у два рази копій; коефіцієнт подібності r = ВЅ (як по горизонталі, так і по вертикалі). Отже, S --- самоподібний фрактал з розмірністю:
d = log (3)/log (2) ~ 1,5850.
Рис. 2.3.2. Побудова килима Серпінського
В
Очевидно, що сумарна площа частин, викинутих при побудові, в точності дорівнює площі вихідного трикутника. На першому кроці ми викинули Вј частина площі. На наступному кроці ми викинули три трикутника, причому площа кожного дорівнює Вј 2 площі вихідного. Міркуючи таким чином, ми переконуємося, що повна частка викинутої площі склала:
1/4 + 3 * (1/4 2 ) + 3 2 * (1/4 3 ) + ... + 3 n-1 * (1/4 n ) + ....
Ця сума дорівнює 1 (доказ в [1]). Отже, ми можемо стверджувати, що що залишився безліч S, тобто килим, має площу заходи нуль. Це виділяє безліч S в розряд В«досконалогоВ», в тому сенсі, що воно розбиває своє доповнення на нескінченне число трикутних областей, володіючи при цьому нульовий завтовшки.
3. L- системи.
Поняття L-систем , тісно пов'язане з самоподібними фракталами, з'явилося тільки в 1968 році завдяки Арістріду Лінденмайеру. Спочатку L-системи були введені при вивченні формальних мов, а також використовувалися в біологічних моделях селекції. З їх допомогою можна будувати багато відомих самоподібні фрактали, включаючи сніжинку Коха і килим Серпінського. Деякі інші класичні побудови, наприклад криві Пеано (роботи Пеано, Гільберта, Серпінського), також укладаються в цю схему. І звичайно, L-системи відкривають путь до нескінченного різноманітності нових фракталів, що і послужило...
