ського рельєфу. Спробуйте трохи наблизити зображення гірської гряди --- ви знову побачите гори. Так проявляється характерне для фракталів властивість самоподібності.
Під багатьох роботах з фракталам самоподібність використовується як визначального властивості. Слідуючи Бенуа Мадельброту, ми приймаємо точку зору, згідно з якою фрактали повинні визначатися в термінах фрактальної (дробової) розмірності. Звідси і походження слова фрактал (від лат. Fractus --- дробовий). p> Поняття дробової розмірності являє собою складну концепцію, яка викладається в кілька етапів. Пряма --- це одновимірний об'єкт, а площину --- двовимірний. Якщо гарненько перекрутивши пряму і площину, можна підвищити розмірність отриманої конфігурації; при цьому нова розмірність зазвичай буде дробової в деякому сенсі, який нам належить уточнити. Зв'язок дробової розмірності і самоподібності полягає в тому, що за допомогою самоподібності можна сконструювати безліч дробової розмірності найбільш простим чином. Навіть у випадку набагато більш складних фракталів, таких як кордон множини Мандельброта, коли чисте самоподібність відсутня, є майже повне повторення базової форми в усі більш і більш зменшеному вигляді.
Багато чудові властивості фракталів і хаосу відкриваються при вивченні ітерованих відображень. При цьому починають з деякою функції y = f ( x) і розглядають поведінку послідовності f ( x), f ( f ( x)), f ( f ( f ( x))), ... У комплексній площині роботи такого роду сходять, по всій видимості, до імені Келі, який досліджував метод Ньютона знаходження кореня в додатку до комплексним, а не тільки до речових, функцій (1879). Чудового прогресу у вивченні ітерованих комплексних відображень домоглися Гастон Жюліа і П'єр Фату (1919). Природно, все було зроблено без допомоги комп'ютерної графіки. У наші дні, багато хто вже бачили барвисті постери із зображенням множин Жюліа і множини Мандельброта, тісно з ними пов'язаного. Освоєння математичної теорії хаосу природно почати саме з ітерованих відображень.
Вивчення фракталів і хаосу відкриває чудові можливості, як у дослідженні нескінченного числа програм, так і в області чистої математики. Але в той же час, як це часто трапляється в так званій нової математики, відкриття спираються на піонерські роботи великих математиків минулого. Сер Ісаак Ньютон розумів це, кажучи: В«Якщо я і бачив далі інших, то тільки тому, що стояв на плечах гігантів В».
2.КЛАСІЧЕСКІЕ ФРАКТАЛИ
2.1. Самоподібність.
Розділимо відрізок прямої на N рівних частин. Тоді кожну частину можна вважати копією всього відрізка, зменшеного в 1/r разів. Очевидно, N і r пов'язані ставленням Nr = 1 Якщо квадрат розбити на N рівних квадратів (з площею, в 1/r 2 раз менше площі вихідного), то співвідношення запишеться...
