якимось способом побудувати трикутник за a, d і О± то цей трикутник був би рівний одному з зазначених трикутників (це легко довести через).
В В
Методи рішення задач на побудову
Основними є три: метод геометричних місць (ГМТ), метод геометричних перетворень, алгебраїчний метод.
Метод геометричних місць (перетину фігур).
Сутність методу : рішення завдання зводить до побудови деякої точки (основного елемента побудови), підпорядкованої двом умовам. Відкидають одна з цих умов і будують ГМТ Ф 1 , задовольняють першому умові, потім Ф 2 - ГМТ, задовольняють другій умові. За відповідною аксіомі конструктивної геометрії можемо сказати Ф 1 ∩ Ф 2 = Г? чи ні і якщо в‰ Г?, то вважати побудованим перетин Ф 1 ∩ Ф 2 . Точки Ф 1 ∩ Ф 2 і тільки вони задовольняють обом умовам одночасно. Точки перетину і тільки вони дають рішення задачі.
Зауважимо, що успіх від застосування цього методу повністю залежить від знання конкретні ГМТ. Найбільш часто застосовуються такі геометричні місця:
ГМТ 1. Безліч точок площини, кожна з яких рівновіддалена від двох даних точок А і В, є серединний перпендикуляр відрізка АВ.
ГMT 2. Безліч точок, що знаходяться на даному відстані від даної прямої, є дві прямі, паралельні даній і віддалені від неї на даному відстані.
ГМТ 3. Безліч точок, кожна з яких рівновіддалена від двох даних паралельних прямих, є пряма, яка є їх віссю симетрії.
ГМТ 4. Безліч точок, кожна з яких рівновіддалена від двох пересічних прямих, є дві взаємно перпендикулярні прямі, що містять бісектриси кутів, утворених даними прямими,
ГМТ 5. Безлічі точок площини, з яких відрізок АВ видно під прямим кутом, є окружність (без крапок А і В), побудована на відрізку АВ як у діаметрі.
ГМТ 6. Безліч точок площини, з яких відрізок АВ видно під кутом О±, де О± в‰ 90 Вє, О± в‰ 180 Вє, є дві дуги з загальними кінцями А і В (без крапок А і В), симетричні відносно прямої АВ.
ГМТ 7. Безліч точок площини, з яких дана окружність видно під кутом О±, де О± в‰ ПЂ, є окружність, - концентрична з даною, радіус якої більше радіусу даної кола. p> ГМТ 8. Безліч точок, що поділяють всілякі хорда кола (O, ОА), проведені через точку А окружності, в одному і тому ж відношенні О», де О»> 0, є окружність (без точки А) з центром на прямій ОА, через точку А. Якщо О» = 1, то ця окружність побудована на відрізку ОА як у діаметрі.
ГМТ 9. Безліч точок площини, для кожної з яких різниця квадратів відстаней від двох даних точок А і В постійна, є пряма, перпендикулярна прямий АB.
ГМТ 10. Безліч точок площини, для кожної з яких сума квадратів відстаней до двох даних точок А і В дорівнює а 2 , є коло з центром в середині відрізка АВ, якщо 2а 2 > AB 2 ; середина відрізка AB, якщо 2a 2 = AB 2 ; і порожній безліч, якщо 2a 2 2 .
ГМТ 11. Безліч точок площини, для кожної з яких відношення відстаней до двох даних точок А і В постійно і відмінно від одиниці, є коло з центром на прямій АВ (окружність Аполлонія).
Для ілюстрації методу ГМТ вирішимо наступну задачу.
Задача . Побудувати трикутник, якщо відомі: довжина підстави а, кут при вершині О± і ставлення бічних сторін О», О» в‰ 1.
Вирішимо методом ГМТ.
Аналіз. Дві вершини А і В шуканого трикутника легко побудувати. Завдання зводиться до побудови точки С. Точка С має відповідати наступним двом умовам: 1) точка С належить сегменту, що вміщає даний кут О±, 2) точка С належить окружності Аполлонія.
В
П‚ О±
Побудова. Будуємо послідовно: а) відрізок АВ, АВ = 0, б) сегмент А П‚ В, що вміщає даний кут О±; в) окружність Аполлонія на відрізку АВ; г) точку С, приналежну перетинанню сегмента А П‚ У та кола Аполлонія.
Трикутник АВС - шуканий. p> Доказ і дослідження пропонуємо читачам провести самостійно.
Метод геометричних перетворень
Сутність методи: при вирішенні завдання, і перш за все на першому етапі - аналізі, поряд з даними і шуканими фігурами розглядають інші фігури, отримані з даних або шуканих фігур (або їх частин) за допомогою деякого геометричного перетворення (ГП). Залежно від того, яке (ДП) вибрано, говорять про ту чи іншого різновиду методу ДП (метод паралельного перенесення, гомотетии, інверсії і т.д.). Розглянемо приклади. h3> 1. Паралельний перенос (ПП).
Сутність : поряд з даними і шуканими фігурами розглядають інші фігури, отримані із зазначених фігур (або частин) за допомогою ПП.
Задача. Добудувати трапецію так, щоб її заснування і діагоналі були відповідно дорівнюють чотирьом даними відрізкам.
В
Аналіз . Нехай ABCD - шукана трапеція. Зробимо паралельний перенесення плоcкості, який визначається в...
