називається величина. Отримаємо:
[F (x) + C 1 ] x = b - [F ( x) + C 1 ] x = a = F (b) + C 1 - F (a) - C 1 = F (b) - F (a)
Як бачимо, у виразі прирощення первісної функції F (x) + C 1 відсутня постійна величина C 1 . А так як під C 1 малося на увазі будь-яке дане число, то отриманий результат призводить до наступного висновку: при переході аргументу x від значення x = a до значення x = b всі функції F (x) + C , первісні для даної функції f (x) , мають одне і те ж прирощення, рівне F (b) - F (a) .
Це прирощення прийнято називати певним інтегралом і позначати символом
В
Визначення. Прирощення первісних функцій F (x) + C при переході аргументу x від значення x = a до значення x = b , однакову різниці F (b) - F (a) , називається визначеним інтегралом і позначається символом
В
так, що якщо
,
то
В
Дане рівність називається формулою Ньютона-Лейбніца. Передбачається при цьому, що подинтегральная функція f (x) неперервна при всіх значеннях x , які відповідають умовам
ВЈ x ВЈ b .
Формули, що дозволяють за відомими значеннями наближено визначити значення інтеграла, називаються квадратурними формулами .
Для наочності ми будемо вдаватися до геометричної інтерпретації сенсу певного інтеграла, як площі деякій поверхні, у випадку функції. Слід, однак, мати на увазі, що квадратурні формули, які ми будемо отримувати, мають сенс для функцій, що приймають значення довільного знака. p> При обчислити інтеграл, значить знайти площу під графіком, розташовану над відрізком. Природною ідеєю є наступне побудова: розіб'ємо відрізок на частини точками ділення і покладемо і. Тоді розбиття відрізка складається з відрізків прі. Замість площі під графіком будемо наближено знаходити сумарну площу вузьких смужок, що лежать над відрізками розбиття. br/>В
Рисунок 1 - Графік функції f (x) на відрізку
1.2.2 Квадратурна формула Сімпсона (формула парабол)
Виберемо наближення графіка функції у вигляді параболи - графіка деякого квадратного тричлена. Його вигляд, звичайно, залежатиме від відрізка, на якому ми вибираємо наближення. p> Виберемо, наприклад, такий квадратний тричлен, щоб його значення в точках і збігалися зі значеннями функції в цих же точках:
(1)
Через ми позначаємо середину відрізка, тобто
Функцію можна записати у вигляді
В
Дійсно, розкривши дужки, отримаємо деякий квадратний тричлен. Підберемо числа так, щоб виконувалися рівності (1). Покладемо, тоді і. Підставимо у вираз для і отримаємо:
...
