align="justify"> Гільбертовим простором зі скалярним твором
Приступимо до побудови пов'язаною завдання. Помножимо рівняння (1.1) на деяку функцію , властивості якої уточнимо надалі, і результат проинтегрируем за часом і простору:
Ліву частину перетворимо так, щоб за знаком дужки під інтегралом стояла функція , а в дужках - диференціальне співвідношення, що містить функцію . Скористаємося інтегруванням по частинах:
В В
Підставивши (1.5) і (1.6) в (1.4), отримаємо
В
Припустимо, що при (1.8)
Тоді співвідношення (1.7) спроститься:
Припустимо тепер, що задовольняє рівнянню
В
при початкових даних при (1.11)
і граничних умовах (1.8). Тут p - поки не певна функція від x і t . Це завдання будемо називати сполученої .
3. Принцип подвійності
Враховуючи (1.10), наведемо співвідношення (1.9) до виду
Нехай
є деякий лінійний функціонал від , який необхідно розрахувати в результаті вирішення основного завдання (1.1), (1.2). З (1.12) випливає, цей же функціонал може бути обчислений також шляхом вирішення пов'язаною завдання (1.10), (1.11), так що
У цьому полягає принцип подвійності .
Функціонал (1.13) допускає різне фізичне утримання.
Нехай
В
Підставляючи (1.15) в (1.13), отримаємо функціонал
математичний дифузія алгоритм функціонал
тобто значення рішення в точці Зауважимо, що теж саме ми отримаємо за допомогою (1.14), якщо в сполученої задачі (1.10), (1.11) в якості p
