p>
Перетворення Фур'є
Запишемо праву частину формули (2.8) у вигляді
. (2.1)
Покладемо:
. (2.2)
Визначення 2.1. Функція називається перетворенням Фур'є функції .
Зауваження 2.1. Якщо функція , то для неї перетворення Фур'є визначено і в сенсі звичайного визначення невласного інтеграла, так як .
Формулу
з урахуванням визначення 2.1. можна записати наступним чином
. (2.3)
Ця формула називається формулою обігу, а функцію
. (2.4)
називають зворотним перетворенням Фур'є функції і позначають .
Зауваження 2.2. Перетворення Фур'є і зворотне перетворення Фур'є визначені на множині функцій, для яких відповідно інтеграли (2.2) і (2.3) існують в сенсі головного значення. br/>
Приклади знаходження перетворення Фур'є
Приклад 1. <В
.
Тоді перетворення Фур'є прийме наступний вигляд:
В
Відповідь:
Приклад 2. br/>В В
=
В В
Відповідь:
Приклад 3. p align="justify">
В В
Деякі властивості перетворення Фур'є
Теорема 1.1. (Властивість лінійності перетворення і зворотного перетворення Фур'є)
Якщо і ( і ) і взяті ( , ), то для функції ( ).
Справедливість укладання теореми випливає з властивості лінійності для невласного інтеграла і формул (2.2) (2.4).
Нехай - будь-яка послідовність функцій з простору , тобто для будь-якої функції існує .
Визначення 4...
