.1. Послідовність в метриці простору , якщо , де називається відстань між елементами і простору .
Теорема 2.1. Якщо послідовність сходиться до функції в метриці зазначеного простору, то відповідна послідовність ( ) перетворень Фур'є сходиться до перетворення Фур'є рівномірно.
Скористаємося наступним критерієм рівномірної збіжності функціональної послідовності: послідовність () рівномірно сходиться до функції тоді і тільки тоді, коли ( , ).
Оцінимо зверху і знизу .
інтеграл Фур'є теорема спектр
В
. (4.1)
Для безлічі модулів число є верхня межа по , а тоді для найменшою з верхніх меж, тобто для має оцінку
. (4.2)
Далі скористаємося аналогом теореми про межі проміжної функції.
Якщо і , то і . ?
Теорема 2.2. (Теорема Рімана-Лебега) Якщо функція абсолютно інтегровна на числової прямої, то її перетворення Фур'є є безперервна і обмежена на числової прямої функція, причому .
Спочатку доведемо обмеженість перетворення Фур'є на числовій прямій.
,
де - норма функції в просторі .
Далі доведемо інші укладання теореми. Доказ розіб'ємо на 3 етапи. p align="justify"> Нехай
У цьому випадку функція називається характеристичною функцією інтервалу . Очевидно, що . Знайдемо перетворення Фур'є функції.
Очевидно, що перетворення Фур'є є безперервна функція на . Доведемо, що безперервність буде і в точці .
...
